Matematické Fórum

night_gnome · 10. 03. 2012 13:24

Dobrý den, můžete mi prosím objasnit tento příklad ? Je to řešení logaritmu v oboru komplexních čísel. Výpočet v levo je mi jasný, je to snadné odlogaritmování, ale nerozumím výpočtům na pravé straně. Je to nějaký důkaz, že toto řešení je správné nebo jediné ?

jelena · 11. 03. 2012 11:53

Zdravím,

mám pocit, že tomu není příliš rozumět. Z definice by to tak bylo, $a$ můžeme považovat za komplexní číslo, které má pouze reálnou část. Ale co se dokazuje, pokud není komentář, těžko zjistíme.

Neměla bys spíš náhled nebo odkaz na vaše materiály? Děkuji.

night_gnome · 12. 03. 2012 08:30

↑ jelena:

toto je celé zadání příkladu

Rumburak

↑ night_gnome:
Ahoj. Je potřeba uvážit, že exponenciální funkce $\mathrm{e}^t$ komplexní proměnné $t$ má periodu $2\pi \mathrm{i}$ (pro libovolné $b \in \mathbb{R}$ je na pásu

$\{ z \in \mathbb{C} ; b \le \mathrm{Im} z < b + 2\pi \}$

prostá a zobrazuje ho na $\mathbb{C} - \{0\}$ ) . Symbol $\ln c$ pro komplexní $c \ne 0$ představuje množinu všech řešení rovnice $\mathrm{e}^t = c$ ,
jednotlivá tato řešení se liši o celočíselný násobek $2\pi \mathrm{i}$ . Rovnice $\ln az = a$ pak znamená - striktně vzato - výrok $a \in \ln az$ .

vanok · 12. 03. 2012 17:06

↑ night_gnome:
Mala otazka;
Uz ste studovali komplexny logaritmus?

night_gnome · 13. 03. 2012 09:42

↑ Rumburak:

to znamená, že řešení je nekonečně mnoho?
$z=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3} + 2k\Pi$

I když o a víme, že je to reálné číslo ?

Rumburak

↑ night_gnome:

Těch řešení není nekonečně mnoho, ale to se ukáže až podrobným rozborem.

Řešíme rovnici $\ln az = a$ , kde $a > 0$ je stanovená konstanta a $z$ neznámá v oboru komplexních čísel (jak sama požaduješ),
to znamená, že hledáme všechna komplexní čísla $z$ , která tu rovnici splňují.
Logaritmus není definován v bodě 0, takže nutno předpokládat $az \ne 0$ , tedy $z \ne 0$ , tudíž můžeme psát

(1) $z = r (\cos \rho + \mathrm{i}\,\sin \rho) = r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\rho}$ , kde $r > 0$ a $-\pi \le \rho < \pi$

(někteří autoři kladou na argument $\rho$ komplexního čísla (1) podmínku $0 \le \rho < 2\pi$ , což ale není podstatné) .

Hlavní hodnotou logaritmu kompl. č. (1) nazýváme kompl. č. $\mathrm{Log}\, z := \ln r + \mathrm{i}\rho$ . Vnímáme-li tento vztah jako funkci proměnné (1),
hovoříme o hlavní větvi logaritmu. Dalšími větvemi logaritmu pak jsou funkce

(2) $L_n(z) := \mathrm{Log}\, z + 2n \pi \mathrm{i}, n \in \mathbb{Z}$ ,

které všechny splňují identitu $\mathrm{e}^{L_n(z)} = z$ , jsou spojité v množině $M:=\mathbb{C} - \{z \in \mathbb{C} ; \mathrm{Im}\,z = 0 \wedge \mathrm{Re}\,z \le 0 \}$
a společně tvoří "funkci" ln v komplexním oboru . (Zároveň platí, že každá funkce $f$ definovaná a spojitá v množině $M$ a splňující na této
množině identitu $\mathrm{e}^{f(z)} = z$ , je zároveň identicky rovna některé z funkcí (2). )

Vraťme se k rovnici $\ln az = a$ . Pro $a>0$ máme dle (1) $az = ar (\cos \rho + \mathrm{i}\,\sin \rho) = ar\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\rho}$ a dále
$\mathrm{Log}\, az = \ln ar + \mathrm{i}\rho$ , pro zvolené $n \in \mathbb{Z}$ je

(3) $L_n(az) = \mathrm{Log}\, az + 2n \pi \mathrm{i} = \ln ar + \mathrm{i}\rho + 2n \pi \mathrm{i} = \ln ar + (\rho + 2n \pi) \mathrm{i}$ .

Rovnost $\ln az = a$ znamená, že pro některé celé číslo $n \in \mathbb{Z}$ je $L_n(az) = a$ , což speciálně znamená, že $L_n(az)$ je
reálné číslo a dle (3) tedy $\rho + 2n \pi = 0$ , čili $n = \rho = 0$ , tudíž dle (1) i samo číslo $z$ je reálné. Problém se tím přesouvá
do reálné analýzy a na této platformě už není těžké zjistit, že

$z = \frac{1}{a}\, \mathrm{e}^{a}$ .

Snažil jsem se rozebrat to hodně podrobně, aby nic podstatného nezapadlo.