Matematické Fórum

lenis · 20. 10. 2008 19:14

AHOJ příklad zní: Spočítejte v Z 19: 8 na 7 plus 7 na 8 to celé na 12

nevím co stím ....přes binomickou větu??? nebo je v tom nějaký trik??,
díky

lukaszh

EDIT:
$\left[8^7+7^8\right]^{12}$

lenis · 20. 10. 2008 19:46

nne je to v množině Z19

takže to co si napsal dobře až na to že to a je jen 8 ne 19/8

Pavel Brožek · 20. 10. 2008 21:30

↑ lenis:

http://forum.matweb.cz/misc.php?action=rules

bod 3

Pavel Brožek · 20. 10. 2008 21:53

↑ lenis:

Nikdy jsme tuhle látku ve škole nerozebírali podrobně, ale já bych postupoval následovně:

$8^2=64=7\nl 8^4=(8^2)^2=7^2=49=11\nl 8^7=8\cdot8^2\cdot8^4=8\cdot7\cdot11=56\cdot11=18\cdot11=198=8\nl 7^2=49=11\nl 7^4=(7^2)^2=11^2=121=7\nl 7^8=(7^4)^2=7^2=49=11\nl$

$(8^7+7^8)^{12}=(8+11)^{12}=19^{12}=0$

Tak doufám, že to je dobře, snad to někdo, kdo tyto věci studuje, potvrdí.

Pokud se rovnítko nesmí používat, tak mi to prosím odpus?te.

musixx · 21. 10. 2008 08:35

↑ BrozekP: Ahoj. Muzu potvrdit tvuj pristup. Dokonce i to rovnitko se casto pouziva a je to korektni, pokud uvazime, ze symbol treba 7 je jen zkratka za tridu rozkladu $[7]_{19}\in{\mathbb Z}/n{\mathbb Z}={\mathbb Z}_n$ . Pak 7 samo se nazyva reprezentantem dane tridy. Neni nikde psano, ze za reprezentanta musim vzit nejake "male" cislo, proto napri. 7=26 v ${\mathbb Z}_{19}$ .

Obecne ${\mathbb Z}_n$ jsou s prirozenym operacemi $+$ a $\cdot$ okruhy, resp. obory integrity, resp. telesa (zalezi na n). Taktez kazda $G_1=({\mathbb Z}_n,+)$ je komutativni grupa, stejne jako $G_2=({\mathbb Z}^\times_n,\cdot)$ , kde "krizkem" se znaci invertibilni prvky (napr. pro prvociselne n to jsou vsechny nenulove). Kdyz se podivame jen na $G_2$ , tak nam to umoznuje pouzivat pojmy jako rad prvku, coz vede pozdeji na Eulerovu funkci, ktera umoznuje relativne efektivne vycislovat prave takove mocniny. Dokonce tady v tomto konkretnim prikladu jsme ji ani nepotrebovali, vystacili jsme bohate s tim, ze 7 je radu 3, tedy $7^3=1$ , a proto $7^8=7^2=11$ . Podobne u osmicky, pripadne si staci vsimnout, ze $8^2=7$ a dale vyuzit jiz spocitaneho. Jakmile mame tyto mocniny, presumene se z pocitani v grupe invertibilnich prvku do celeho telesa, tedy umime aplikovat plus a mame stesti, ze nam vysla nula. Pak se s 12 v exponentu ani nemusime zabyvat. Kdyby nula nevysla, tak bychom postupovali stejne jako na zacatku pri vycisleni mocniny (byva vhodne najit rad zakladu mocniny, mocnence, a tim snizit exponent).

Dale bych chtel podotknout, ze prirozene operace plus a krat jsou obycejne restrikce, ktere vznikaji pri faktorizaci okruhu. No a protoze ${\mathbb Z}_n$ vzniklo faktorizaci celych cisel, tak vse, co plati v celych cislech s jejich plus a krat, take plati v kazdem ${\mathbb Z}_n$ s jeho plus a krat. Tedy intuitivne receno: v techto prikladech mohu pocitat jako v celych cislech, dokud se mi chce, a mohu pouzit modularni aritmetiky, kdykoli se mi chce.