Matematické Fórum

tom317 · 21. 10. 2008 18:11

Zdravím, mám problémy vypočítat tuto (jednoduchou) rovnici:
$7\cdot6^x\;-\;2\cdot4^x\;=\;6\cdot9^x$
Díky za každou pomoc.

lukaszh · 21. 10. 2008 19:13

↑ tom317:
Tu by som doporučil úpravy typu:
$6^x=3^x2^x\nl 4^x=2^{2x}=\left(2^{x}\right)^2\nl 9^x=3^{2x}=\left(3^{x}\right)^2$

tom317 · 21. 10. 2008 19:41

$7\cdot3^x\cdot2^x\;=\;6\cdot3^{2x}\;+\;2\cdot2^{2x}\nl 7\;=\;\frac{6\cdot3^{2x}}{3^x\cdot2^x}\;+\;\frac{2\cdot2^{2x}}{3^x\cdot2^x}\nl 7\;=\;6\cdot(\frac32)^x\;+\;2\cdot(\frac23)^x\nl \frac72\;=\;3\cdot(\frac32)^x\;+\;(\frac32)^{-x}$
a dále už nevím jak postupovat

Olin · 21. 10. 2008 20:53

Jakmile to už máš v tomto tvaru, tak už máme skoro vyhráno! Teď si musíš dát substituci např.

$a = \left(\frac 32 \right)^x$

To dosadíš do rovnice a máš

$\frac 72 = 3a + \frac 1a$

Teď vynásobíš áčkem a dostaneš kvadratickou rovnici. Dostaneš nějaké možné hodnoty pro a a pak z toho určíš možné hodnoty x.

Ivana · 21. 10. 2008 21:11

↑ Olin:
Mně vyšlo : $a=\frac{2}{3}$ ... $x=-1$ a druhé řešení : $a=\frac{1}{2}$ .. to se pak bude logaritmovat ?

Olin · 21. 10. 2008 21:20

↑ Ivana:
Ano, asi nám nezbude, než vzít
$x_1= -1\nl x_2 = \log_{1,5} \left(\frac 12\right)$

tom317 · 21. 10. 2008 21:35

Tak už jsem taky došel ke správnému výsledku.
Díky za pomoc.

krocansk · 22. 10. 2008 09:05

prosím o pomoc potřebuji vypočítat příklady abych věděl jak vypočitat zbylé příklady 5*2nax + 2 - 6*3nax+2 se rovná 3na x+3 + 2*2na x+1 děkuji

Cheop · 22. 10. 2008 09:38 — Editoval Cheop (22. 10. 2008 09:51)

↑ krocansk:
$5\cdot 2^{x+2}-6\cdot 3^{x+2}=3^{x+3}+2\cdot 2^{x+1}$
$20\cdot 2^x-4\cdot 2^x=27\cdot 3^x+54\cdot 3^x$
$16\cdot 2^x=81\cdot 3^x$
$\left(\frac32\right)^x=\left(\frac23\right)^4$
$\left(\frac32\right)^x=\left(\frac32\right)^{-4}$
$x=-4$

Nebo to jde i takto:
$16\cdot 2^x=81\cdot 3^x\nl2^4\cdot 2^x=3^4\cdot 3^x$
$2^{x+4}=3^{x+4}\nl2^{\tiny 0}=3^{\tiny0}\nlx+4=0\nlx=-4$