Matematické Fórum

teress · 20. 03. 2012 12:57

Prosím, nevím si rady (tak nějak vůbec) s tímhle příkladem..:

Určete společné tečny dvou daných kružnic:

(x-3) $^{2}$ +(y+1) $^{2}$ = 36, (x-11) $^{2}$ +(y-3) $^{2}$ = 4

Rumburak · 20. 03. 2012 13:28

Existuje více způsobů, jak postupovat. Jako nejjednodušší řešení (a při tom analytické) se mi jeví následující:

První kružnici označme $k_1$ a druhou $k_2$ . Uvažujme - třeba na kružnici $k_1$ - bod $T[u,v]$ , takže jeho souřadnice $u, v$ budou vyhovovat
jisté rovnici, kterou pracovně nazveme vazební podmínkou. Napišme rovnici tečny kružnice $k_1$ v jejím bodě $T$ (Existuje věta, která říká,
v jakém tvaru lze takovou tečnu vyjádřit.) Tím získáme rovnici jakési přímky $p$ (tečny ke kružnici $k_1$ ) závislou na parametrech $u, v$ .
Hodnoty těchto parametrů hledáme takové, aby přímka $p$ byla tečnou kružnice $k_2$ a zároveň aby byla splněna výše uvedená vazební podmínka.
Pro neznámé $u, v$ tak získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyřešíme a výsledky pak dosadíme do rovnice přímky $p$
závislé na těchto parametrech.

teress · 20. 03. 2012 13:31

↑ Rumburak:
Existuje věta, která říká,
v jakém tvaru lze takovou tečnu vyjádřit? jaka veta? a jak ziskam ty souradnice u a v? ja tomu vubec nerozumim...

teress · 20. 03. 2012 13:33

↑ Rumburak:
a jak najdu parametry primky, aby to byla tecna kruznice? fakt tomu absolutne nerozumim a jsou to pro me jen nejaky pojmy, sama to proste nezvladnu...:(

Rumburak

↑ teress:
Ten návrh v ↑ Rumburak: sice možná vypadá na první pohled elegantně, ale vede k výpočtům, které už tak elegantně nevycházejí.
Zkusme jít na to jinak.

Kružnice $k_1 : (x-3)^{2}+(y+1)^{2} = 6^2$ má střed $S_1[3, -1]$ a poloměr 6,
kružnice $k_2 : (x-11)^{2}+(y-3)^{2} = 2^2$ má střed $S_2[11, 3]$ a poloměr 2.

Nechť $T_1 \in k_1$ , $T_2 \in k_2$ jsou body, jimiž prochází společná tečna $p$ těchto kružnic. Každý z vektorů $T_1 - S_1$ , $T_2 - S_2$ ,
jejichž velikosti jsou po řadě 6 a 2, je kolmý k přímce $p$ (viz věta, která říká, že kružnice o rovnici $(x-m)^{2}+(y-n)^{2} = r^2$
má ve svém bodě $[u, v]$ tečnu o rovnici $(u-m)(x-u)+(v-n)(y-v) = 0$ ), proto jsou tyto vektory rovnoběžné a
lze je tedy vyjádřit ve tvaru

(1A) $T_1 - S_1 = 6\vec w$ , $T_2 - S_2 = 2\vec w$

resp.

(1B) $T_1 - S_1 = 6\vec w$ , $T_2 - S_2 = - 2\vec w$ ,

kde $\vec w = (a, b)$ je vhodný vektor jednotkové velikosti, tedy pro jehož souřadnice platí

(2) $a^2 + b^2 = 1$ .

Klíčem k řešení bude nalézt čísla $a, b$ určující vektor $\vec w = (a, b)$ , na jehož základě a pomocí (1A) resp. (1B) dopočítáme body $T_1, T_2$
a zjistíme rovnici přímky $p$ , která jimi prochází a bude společnou tečnou obou kružnic. Případy (1A), (1B) nutno řešit separátně.

A. Případ (1A), tj. $T_2 - S_2 = + 2\vec w$ .

Body $T_1 , T_2$ leží na přímce $p$ , takže vektor $T_2 - T_1$ je rovnoběžný s touto přímkou a proto kolmý k vektorům $T_1 - S_1$ , $T_2 - S_2$
a tedy i k vektoru $\vec w$ . To lze pomocí skalárního součinu vektorů vyjádřit rovnicí $\vec w\cdot (T_2 - T_1)= 0$ , z níž po dosazení z (1) a dalšími
úpravami postupně obdržíme

$\vec w\cdot ((S_2 + 2\vec w) - (S_1 + 6\vec w))= 0$ ,
$\vec w\cdot (S_2 - S_1 - 4\vec w)= 0$ ,
$(a,b)\cdot (8-4a, 4-4b ) = 0$ ,
$a(8-4a) +b(4-4b) = 0$ ,

odtud s využitím (2) dostaneme $2a + b = 1$ a tedy

(3) $b = 1-2a$ ,

dosazením (3) do (2) získáme rovnici $a^2 + (1-2a)^2 = 1$ , po úpravě $5a^2 - 4a = 0$ , která má kořeny $a= 0, a' =\frac {4}{5}$ .
Dopočítat dle (3) odpovídající čísla $b, b'$ jistě nebude problém. Tato část úlohy tedy má dvě řešení.

B. V případě (1B) bychom postupovali analogicky.

teress · 20. 03. 2012 16:08

↑ Rumburak:
tak jsem asi uplne blba :-D
delame analytickou geometrii a tenhle priklad se podle vasich vypoctu pocita uplne jinak nez ty predchozi...
o zadny pruvodidich, jendotkovych kruznicich atd. nebyla doposud v analyticke geometrii rec (myslim u nas, co pocitame v hodinach atd.)...
to je to reseni tak slozity? nejde to udelat nejak podle stredu stejnolehlosti? i kdyz nevim jak na to, narysovat ok, ale vypocitat opravdu ne...
i kdyz to tu mam tedy tak nejak vyreseny od vas, stejne to absolutne nechapu...vektor w, pruvodice, jednotkova kruznice..nevim co to ma spolecnyho s tim prikladem a fakt jsem z toho zmatena..
ale diky za snahu..:)

Rumburak · 20. 03. 2012 16:45

↑ teress:
Ano, jde to pomocí stejnolehlosti, ale takovéto řešení není analyticky "čisté" (protože se při něm opíráme o znalost, že tam jakási stejnolehlost
hraje roli). Ale je možné, že Váš učitel Vám u takto obtížné úlohy tu odchylku od analytické metody promine.

V naposledy navržené metodě mi šlo o to vyhnout se velmi nepříjemným algbraickým výpočtům, na které by vedl můj první návrh
(jak jsem zjistil dodatečně). Tyto obtíže se dají vyřešit tím, že kružnice

$k_1 : (x-3)^{2}+(y+1)^{2} = 6^2$ , $k_2 : (x-11)^{2}+(y-3)^{2} = 2^2$

vyjádříme parametricky, tedy

$k_1 : x = 3 + 6\cos t, y = -1 + 6\sin t$ , $k_2 : x = 11 + 2\cos t, y = 3 + 2\sin t$ ,

což je sice běžná rutina pro toho, kdo to zná, ale možná ne pro studenta SŠ, kde se to patrně neprobíralo - proto jsem se snažil myšleku
parametrických rovnic kružnice názorně vyložit - pokud se mi to nepovedlo, tak lituji a omlouvám se. Ale sám jsem se přesvědčil, že toto
cesta je mnohem schůdnější než ta navržená v prvním příspěvku - během zítřka se pokusím to sem dát (dnes už nestíhám).

Rumburak

↑ teress:

Ten postup v ↑ Rumburak: jsem předělal, abych se vyhnul parametrickým rovnicím kružnice, které se na SŠ asi většinou neprobírají.
Navíc jsem komplet provedl jeden klíčový krok výpočtu.

vanok · 21. 03. 2012 13:43

Ahoj,
Dam tu len malu poznamku (nemam cas to pisat podrobnejsie)
Na analyticke riesenie, sa da pouzit take "bublinkove " riesenie TREBA KRESLIT

Pre vonkajsie dotycnice,ak kruznice maju polomery r1, r2 a r1< r2

mensiu kruznicu nahradis jej stredom

vadciu zmensis na kruznicu polomeru r2-r1 v povodnom strede

Dotycnica z bodu na novu kruznicu, ma tu istu smernicu ako povodna vonkajsia smernica,( co je jednoduchsi problem ako povodny )

Podobne sa da najst nieco analogicke pre vnutorne dotycnice.

Honzc · 22. 03. 2012 09:53

↑ teress:
Tady máš obrázek pro kontrolu (viz. řešení podle ↑ vanok:, kterého tímto zdravím)
Samotný výpočet je poměrně zdlouhavý (2 strany A4, psané ručně), ale vyšlo to stejně jako na obr.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cheop · 22. 03. 2012 11:49 — Editoval Cheop (22. 03. 2012 11:51)

↑ Honzc:
Já jsem našel tyto tečny - viz obrázek:

PS: Ty máš na obrázku moje tečny t_1 a t_3

Honzc · 22. 03. 2012 12:20

↑ Cheop:
Máš pravdu.

vanok · 22. 03. 2012 13:25 — Editoval vanok (04. 11. 2013 15:06)

↑ Honzc:↑ Cheop:
Pozdravy vam obom

To som rad, ze moja bublinkova metoda ma uspech ( aspon u vas dvoch, a vraj som specialista originalnych metod... no comment)

Pripominam, ze pre vnutorne dotycnice, bublinka na vadcej kruznici sa zvadci, a na mensej zasa praskne.( pedagogicky jazyk, hmmm)

Honz, vypocty, sa daju, iste skratit... ale sa mi zda, ze vzdy budu jednoduchsie ako v tej inej (zaujimavej metode ↑ Rumburak:, ktoreho tiez pozdravujem) a ak su sprevadzane graficky; su mozno aj citatelnejsie.

Cheop · 23. 03. 2012 10:05 — Editoval Cheop (23. 03. 2012 14:45)

↑ vanok:
Zdravím
Já jsem to počítal takto:
$S_1=(3;\,-1)\\S_2=(11;\,3)\\r_1=6\\r_2=2$
Rovnice tečny bude:
$y=kx+q\\kx-y+q=0$
Vzdálenost středů kružnic od této přímky musí být 6 resp. 2 (poloměry kružnic)
Tedy řešíme rovnice:
$\frac{|3k+q+1|}{\sqrt{k^2+1}}=6\\\frac{|11k+q-3|}{\sqrt{k^2+1}}=2$ - vzdálenost bodu od přímky
1)
$3k+q+1=6\sqrt{k^2+1}\\11k+q-3=2\sqrt{k^2+1}\\-8k+4=4\sqrt{k^2+1}\\-2k+1=\sqrt{k^2+1}\\4k^2-4k+1=k^2+1\\k(3k-4)=0\\k_1=0\\k_2=\frac 43$
Pro k=0
$3k+q+1=6\sqrt{k^2+1}\\q+1=6\\q=5$
Tečna:
$y=kx+q\\y=5$
Pro k = 4/3
$3k+q+1=6\sqrt{k^2+1}\\3\cdot\frac 43+q+1=6\sqrt{\frac{16}{9}+1}\\q+5=6\cdot\pm\frac 53\\q_1=-15\\q_2=5\,\text{ne}$
Tečna:
$y=kx+q\\y=\frac{4x}{3}-15\\4x-3y=45$
2)
$-3k-q-1=6\sqrt{k^2+1}\\11k+q-3=2\sqrt{k^2+1}\\8k-4=8\sqrt{k^2+1}\\2k-1=2\sqrt{k^2+1}\\4k^2-4k+1=4k^2+4\\4k=-3\\k=-\frac 34$
Dopočet q vyjde:
$5-4q=\pm\,30\\q_1=\frac{35}{4}\\q_2=-\frac{25}{4}\,\text{ne}$
Tečna:
$y=kx+q\\y=-\frac{3x}{4}+\frac{35}{4}\\3x+4y=35$
Rovnice tečen:
$y=5\\4x-3y=45\\3x+4y=35$

Se čtvrtou rovnicí byl malý problém, ale uvažoval jsem - rovnice tečny bude kolmá k tečně $y=5$
Rovnice bude:
$x+c=0$ od S_1 bude mít vzdálenost 6 a od S_2 vzdálenost 2 tj:
$|3+c|=6\,\wedge\,|11+c|=2\\c=-9$
Tečna:
$x-9=0$

Řešení:
$y-5=0\\4x-3y=45\\3x+4y=35\\x-9=0$