Matematické Fórum

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:04

prosím prosím o pomooc $x^{2}-4x+3=0$

Hanis · 22. 03. 2012 13:07

Prosím o dodržování Pravidel

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:13

nevím co jsem udělala špatně jen jsem chtěla poprosit o pomoc,nevím totiž jak přijít na grafické řešení bez toho aniž bych to musela vypočítat

wolfito

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=43206

Zde se řešilo něco podobnyho.. Mohlo by ti to pomoct.
Vrchol - Dosazení na čtverec
Prusečíky - diskriminant a dostaneš x1 a x2. a prusečik s osou y das za x 0.

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:20

já to nějak nechápu :-(

wolfito

↑ leniiik066:
Takže vrchol - doplnění na čtverec - $x^2-4x+3$ = $(x-2)^2-1$ takže vrchol bude V[2;-1]
Pruséčik s osou x - udělaš normalně přes diskriminant. $b^2-4ac$ - ten vyjde $4$ potom dopocitas koreny.
S osou y je ze das za x 0 takze - $0 - 0 + 3 = y$ = $y=3$
To je vše.

Rumburak

↑ leniiik066:

Myslím, že je potřeba s dostatečnou přesností načrtnout graf kvadratické funkce $f(x) :=x^{2}-4x+3$ a odhadnout jeho průsečíky s osou x.
Tak si představuji grafické řešení rovnice. Kdybychom ty kořeny počítali algebraicky, už by to nebylo grafické řešení.

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:34

↑ Rumburak:
jo myslíím že něco takovýho potřebuju

wolfito · 22. 03. 2012 13:35

↑ Rumburak:
Ja pochopil že potřebuje udělat graf z téhle rovnice.

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:36

↑ Rumburak:

prosím pomůžeš mi trošku jak na too?

wolfito · 22. 03. 2012 13:39

↑ leniiik066:
Ve směs to máš v mém příspěvku o trochu výš.

leniiik066 · 22. 03. 2012 13:42

nojoo ale to už musíím počítat nedá se na to přijít nějak jednodušeji??

Rumburak

↑ leniiik066:

Musíme vyjít z toho, co o grafu funkce víme, i když ani zde se bez výpočtů zcela neobejdeme:

Grafem kvadratické funkce, v našem případě funkce $f(x) :=x^{2}-4x+3$ , je parabola $p$ mající vrchol $V[m, f(m)]$ , jímž prochází
přímka $s$ , která je osou symetrie paraboly $p$ . Přímka $s$ je zároveň kolmá k souřadnicové ose x (proto je určena rovnicí $x =m$ ).

Vrchol $V[m, f(m)]$ paraboly je potřeba určit přesně. Využijeme její symetrie podle osy $s$ : položíme-li $x_1 = m - t$ , $x_2 = m + t$ ,
musí být $f(x_1) = f(x_2)$ bez ohledu na to, jak bylo zvoleno číslo $t \in \mathbb{R}$ . Úpravou poslední rovnice postupně dostáváme

$f(m - t) = f(m + t)$ ,
$(m-t)^2 - 4(m-t)+3 = (m+t)^2 - 4(m+t)+3$ ,
$(m-t)^2 - (m+t)^2 + 4(m+t) - 4(m-t) = 0$ ,
$-4mt + 8t = 0$ ,
$-4t(m -2) = 0$ ,
$t(m -2) = 0$ .

Poslední rovnice má platit, jak již bylo řečeno, pro každé $t \in \mathbb{R}$ , tedy i pro $t = 1$ , odtud $m =2$ , $f(m) = -1$ ,
takže $V =[2, -1]$ .

U kvadratického členu v předpisu pro naší funkci je kladný koeficiet (1 >0) , proto parabola grafu bude otevřena "nahoru".
K zakreslení části paraboly spočteme ještě několik dalších hodnot funkce f v okolí vrcholu, například pro $x \in \{0, 1, 3, 4\}$ .
Ihned zjistíme, že f(1) = f(3) = 0 , takže k nalezení kořenů jsme ten graf nakonec ani nepoužili.

Úloha nebyla zadána nejlépe. Vhodnější by bylo definovat funkci např. předpisem $f(x) :=x^{2}-4x+2,8$ , pak bychom
na kořeny nenarazili takto "šťastnou náhodou", ale museli bychom část grafu skutečně zakraslit a na jeho základě usoudit, že jeden
kořen leží v intervalu (0, 1) a druhý v intervalu (3, 4) a pokusit se určit jejich hodnoty přesněji.

Hanis · 22. 03. 2012 15:39

A já bych řekl, že máš graficky najít průnik paraboly y=x^2 a přímky y=4x-3

leniiik066 · 23. 03. 2012 09:37

↑ Hanis:
jojo to je přesně ono akorát nevím jak si na to přišeel :-(

Honzc · 23. 03. 2012 10:04 — Editoval Honzc (23. 03. 2012 10:07)

↑ leniiik066:
Tvou rovnici $x^{2}-4x+3=0$ lze přepsat na $x^{2}=4x-3$
Pan kolega ↑ Hanis: (zdravím) pak nakreslil grafy těchto dvou funkcí
$y=x^{2}$ (modrá parabola)
a
$y=4x-3$ (červená přímka)
A protože $x^{2}=4x-3$ tak řešením jsou x-ové souřadnice průsečíků těch dvou grafů.

Rumburak

↑ leniiik066:
Těch možností, jak postupovat, je v podstatě nekonečně mnoho. Kolega ↑ Hanis: si vybral tu, že rovnici $x^{2}-4x+3 = 0$ upravil na
$x^{2}=4x-3$ , kde levou stranu považoval za funkci f(x), pravou stranu za funkci g(x) a hledal, kde se protnou grafy těchto funkcí.

V příspěvku ↑ Rumburak: bylo navrhováno v principu totéž, pouze s tím rozdílem, že za funkci f(x) se bral polynom $x^{2}-4x+3$
a za fukci g(x) konstantní 0 .

Nebo jsme rovnici $x^{2}-4x+3 = 0$ mohli upravit do tvaru $x-4 =-\frac{3}{x}$ a hledat průsečíky přímky $y = x-4$ s hyperbolou
o rovnici $y = -\frac{3}{x}$ , pokud bychom to považovali za výhodné. Atd.

Výhodné je volit funkce f, g pokud možno tak, aby se jejich grafy protínaly pod úhlem málo se lišícím od pravého, pak je naděje na větší přesnost
výsledku. Je-li úhel, pod kterým se křivky protínají, příliš ostrý, pak i malá chyba v zakreslení grafu může způsobit relativně velkou chybu výsledku.
Ale toto hledisko není jediné možné.

peter_4

Leníííku ono je možná dobré postupovat od zadu.

Věřím, že jste určitě už hledali společné body dvou funkcí.

Pokud ti zadám, najdi bod [x;y] který je stejný pro obě funkce:
y=x^2 a funkci y=4x-3

měla by jsi ho být schopná určit a vědět co to vlastně je, jinak tady to asi nikdy nepochopíš co ti tu vysvětlují.

Taky by si musela vědět, že funkce o dvou neznámých spojuje číslo "x" s číslem "y", čili funkce je vlastně jakýsi seznam, který ti řekne, ke kterému "x" patří jaké "y".

Pak bys taky musela umět řešit "společný bod dvou funkcí" výpočtem,
čili že na jedné straně y=x^2 dosadíš za "x" číslo a vyjde ti číslo, které je sním spojeno a to "y"
na druhé straně dosadíš do y=4x-3 za "x" číslo a zase ti za "y" musí vyjít nějaké číslo "y"

Já když si vymyslím konkrétní číslo "x" třeba x=2 a budu hledat v případě obou funkcí, které číslo je spojeno s číslem x=2 tak:
1) y=x*x; y=2*2 => y=4, čili první funkce ti spojuje číslo x=2 s čílem y=4 tedy [x;y] je [2;4] což je bod na grafu
2) y=4x-3; y=8-3 => y=5, čili druhá funkce ti spojuje číslo x=2 s číslem y=5 tedy jde o "bod" na grafu [2;5]

Tady jasně vidíš, že bod [2;4] a bod [2;5] nejsou společnými body, protože když je nakreslíš do grafu budou ležet někde jinde, respektive nejde o stejnou dvojici [x;y]

Já pokud si dosadím x=1 tak
1) y=x*x; y=1*1 => y=1
2) y=4x-3; y=4*1-3 => y=1
Tady vidíš, že obě funkce spojují číslo 1 s číslem 1, tedy x=1 a y=1 ... [x;y]

Jak jsem napsal musíš to umět řešit výpočtem.
řeší se to tak, že "y" musí vyjít logicky stejné číslo, pokud za "x" obou funkcí dosadíš stejné "x", čili
y=x*x a y=4x-3, obě "y" se musejí rovnat tedy y1=y2 a za "x" dosazuješ stejné číslo

proto se to napíše jako
x*x=4x-3 a můžeš zase zkoušet dosazovat za "x" čísla, dokud ti obě strany nebudou si rovny, samozřejmě jsou jiné metody, jak na řešení dojít snadnější než dosazování.

V tuhle chvíli teprve můžeš začít řešit graficky rovnici 0= x*x-4x+3
Jelikož pro takovou rovnici musí taky platit, že x*x=4x-3

to lze samozřejmě pak napsat, jakože hledáš číslo "x" pro dvě funkce y=x*x a y=4x-3, pro které vyjde "y"nové číslo stejné, tedy hledáš společný bod dá se říct.
Tento společný bod je pro obě funkce shodný a proto pokud obě funkce nakreslíš do grafu, tak v tom bodě se musejí protínat, jelikož v tom bodě existují obě funkce a navíc jsou tam stejné.

Proto stačí nakreslit funkci y=x*x a y=4x-3 a zjistit, kde se ty dvě funkce protnou, respektive kde při dosazení za x*x vyjde totéž jako při dosazení za 4x-3 tedy kde x*x=4x-3

___________________________________

Jinak rumburakův způsob je určitě taky zajimavý, ale ve škole se učí ten první zmiňovaný...

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2012 13:04

grafické řešení kvadratické rovnice

#2 22. 03. 2012 13:07

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#3 22. 03. 2012 13:13

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#4 22. 03. 2012 13:15 — Editoval wolfito (22. 03. 2012 13:20)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#5 22. 03. 2012 13:20

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#6 22. 03. 2012 13:27 — Editoval wolfito (22. 03. 2012 13:28)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#7 22. 03. 2012 13:31 — Editoval Rumburak (22. 03. 2012 13:34)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#8 22. 03. 2012 13:34

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#9 22. 03. 2012 13:35

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#10 22. 03. 2012 13:36

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#11 22. 03. 2012 13:39

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#12 22. 03. 2012 13:42

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#13 22. 03. 2012 14:43 — Editoval Rumburak (22. 03. 2012 15:21)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#14 22. 03. 2012 15:39

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#15 23. 03. 2012 09:37

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#16 23. 03. 2012 10:04 — Editoval Honzc (23. 03. 2012 10:07)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#17 23. 03. 2012 10:09 — Editoval Rumburak (23. 03. 2012 10:17)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

#18 24. 03. 2012 11:43 — Editoval peter_4 (24. 03. 2012 11:58)

Re: grafické řešení kvadratické rovnice

Zápatí