Matematické Fórum

Honza90 · 23. 03. 2012 11:52

Narazil jsem na příklad, kde je obecně nějaký dvojný integrál nějaké fce a má se integrovat na množině A, která leží v rovině xy a je takto vymezená: $y=x; y=\sqrt{3}x; (x-2)^{2}+y^{2}=4; (x-4)^{2}+y^{2}=16$ jedná se o oblast ohraničenou dvěma nesoustřednými kružnicemi a dvěma přímkami, které prochází počátkem. Dalším krokem je transformace na polární souřadnice $x=\varrho cos\varphi ; y=\varrho sin\varphi$ . Jakobián je $J=\varrho$ . Po transformaci je množina A vymezená takto: $\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{\pi }{3}; 4\cos \varphi \le 8\cos \varphi$ tedy integrál nad touto množinou bude $\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\int_{4\cos \varphi }^{8\cos \varphi }f(\varrho \cos \varphi ,\varrho \sin \varphi )d\varrho d\varphi$ Jediné na co se chci zeptat je ten interval pro rádius: $4\cos \varphi ;8\cos \varphi$ příjde mi jako dost vágní, jakým číslem se bude ten cosinus násobit při malé změně úhlu fí, že postupně dojde přesně až k 8cosfí? Pokud to dává nějaký smysl, prosil bych o objasnění.

Rumburak · 23. 03. 2012 13:03

↑ Honza90:
Nerovnice pro $\rho$ má vskutku tvar $4 \cos\varphi \le \rho \le 8 \cos\varphi$ , je-li dáno $\varphi \in \left[\frac{\pi }{4} , \frac{\pi }{3}\right]$ .
Menší kruh leží uvnitř toho většího , jejich společným bodem je P[0, 0], větší kružnice je stejnolehlým obrazem té menší při stejnolehlosti
se středem P a koeficientem 2. Množinu A je možno vyjádřit jako sjednocení úseček CD majících následijící vlastnosti:

1) přímka proložená ús. CD prochází bodem P a její směrový úhel $\varphi$ splňuje $\frac{\pi }{4}\le \varphi \le \frac{\pi }{3}$ .
2) C leží na té menší kružnici a D na té větší, $|CP| = 4\cos \varphi, |DP| = 8\cos \varphi$ .

Odtud plyne, že obecný bod X úcečky CD splňuje $4 \cos\varphi \le |XP| \le 8 \cos\varphi$ a $|XP| =\rho$ .

Je to ono ?

Honza90 · 23. 03. 2012 13:26

↑ Rumburak:
perfektní

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2012 11:52

Jakobián

#2 23. 03. 2012 13:03

Re: Jakobián

#3 23. 03. 2012 13:26

Re: Jakobián

Zápatí