Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Mám příklad:
Najděte dvě grupy konečného řádu, které nejsou izomorfní a mají stejný počet prvků všech řádů.
Existují vůbec takové?
Možná tomu není dobře rozumět, tak ještě trochu těžkopádněji:
Označme pro nějaké přirozené n a nějakou (konečnou) grupu G $r^G_n=|\{g \in G; \; |g|=n\}|$ .
Hledám takové dvě neizomorfní, konečné grupy G,H, že $r^G_n=r^H_n$ pro každé přirozené n.

Pozorování: Musí být $|G|=|H|$ .
Nemohou být obě komutativní, jinak by byly izomorfní - to, myslím, plyne z důkazu Frobenius-Stickelberger věty (klasifikace konečných komutativních grup). viz též lemma 1.64 ve skriptech.

Prosím,
máte někdo nějaký nápad?
Jinak, jde o příklad 134 ze sbírky.
edit: link na sbírku.

Andrejka3 · 28. 03. 2012 20:56

↑ Andrejka3:
Přijde mi to jako docela zajímavá otázka, zda uvedená podmínka stačí na existenci izomorfismu.
Zkusím si projít pár konečných grup a třeba budu mít štěstí a na něco narazím (pochybuju :D).

ruamaixanh

Zdravím,
takové grupy opravdu existují, například grupa $Z_3*Z_3*Z_3$ a druhá grupa je grupa matic s $1$ na diagonále, $0$ pod diagonálou a jiné prvky jsou ze $Z_3$ . Obě grupy mají exponent 3, ale jedna je abelovská, kdežto druhá není, tzn. nejsou izomorfní.

Andrejka3 · 28. 03. 2012 21:11

↑ ruamaixanh:
Ahoj, díky za odpověď.
Tohle by mě nenapadlo.
Samozřejmě mi to stačí takhle, ale zajímalo by mě, jak jsi k tomu došel. Nějak to jde vidět? Něco za tím je? :)

ruamaixanh · 28. 03. 2012 21:15

Ahoj,
přiznávám, že jsem jenom hledal ve vyhledávači http://answers.yahoo.com/question/index … 955AACoWtr

Andrejka3

↑ ruamaixanh:
Skvělé!
Díky.

edit:
Ověření:
Grupa $\mathbb{Z}_3$ je cyklická a každý její prvek. který není jednotkový ji generuje, tedy má řád 3. Odtud, grupa $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ má jeden prvek řádu jedna a 26 prvků řádu 3.

Grupa všech matic 3x3 nad tělesem $\mathbb{Z}_3$ s jedničkami na hlavní diagonále, a nulami pod ní:
Je třeba ověřit, že řád libovolného nejednotkového prvku této grupy je 3.
volme $a,b,c \in \mathbb{Z}_3$ , aspoň jeden různý od nuly a mějme matici:
1 a b
0 1 c =x, budu značit jen netriviální tři prvky
0 0 1

2a (2b+ac) =x^2 aspon jeden element je nenulový.
2c

3a (3b+3ac) =x^3 = E (jednotkova matice)
3c

PS: museli jsme hledat mezi grupami, jejichž řád není ani p ani p^2, kde p je prvočíslo, aby nebyly automaticky komutativní. Taky je výhodné vzít právě jednu z nich komutativní, protože pak zřejmě nemohou být izomorfní (pokud věříme, že taková dvojice grup existuje). Tak tady je jedna komutativní grupa řádu p^3. Ale nevím, jestli bych k tomuto příkladu nakonec došla.

Andrejka3 · 30. 03. 2012 15:48

A protože nechci být nepřítelem polopřímého součinu grup, mám tu ještě cvičení navržené kolegou z fóra:

$Z_4\times Z_4$ a polopriamy sucin ( semi-direct) $Z_4\rtimes_r Z_4$ kde $r : Z_4\rightarrow Aut(Z_4)$ definovany ako $r(b)=(a\mapsto a^{-1})$

to je příklad podobný předchozímu - dvě neizomorfní grupy se stejným počtem prvků všech řádů.
Když jsem to tu napsala, bude mě to nutit to nakonec dopočítat :)

vanok · 31. 03. 2012 13:07

↑ Andrejka3:
Ahoj, len mala poznamka:
Ak chces skutocne najst grupu
$Z_4\rtimes_r Z_4$ kde $r : Z_4\rightarrow Aut(Z_4)$ definovany ako $r(b)=(a\mapsto a^{-1})$
pouzi znamu vetu
V cyklickej grupe, $Z_n$ grupa automorfizmov je isomorfna z grupov inverznych prvkov v okruhu $Z_n$
( to sa mi zda jedina mozna tazkost na jej vyjadrenie)

Andrejka3 · 31. 03. 2012 14:50

↑ vanok:
Díky za asistenci a rady. Myslím, že k tomuto nebudu další potřebovat, dokud to sama neprojdu. Jen teď potřebuju čas a klid na to si to rozmyslet. Momentálně dělám trochu jiné věci z grup, ale zanedlouho se k tomu vrátím a napíšu, že tomu rozumím a na co jsem přišla.

Andrejka3

↑ vanok:

V cyklickej grupe, grupa automorfizmov $Z_n$ je isomorfna z grupov inverznych prvkov v okruhu $Z_n$

No, jestli to je jednodušší cesta, pak ji zatím nepoužiju - neprobrala jsem ještě okruhy.
Někde je chyba, protože když onu grupu, $Z_4\rtimes_r Z_4$ chci najít z definice, chci si nejdřív ověřit některé věci:
(1): $\forall b \in \mathbb{Z}_4 : r(b) \in \text{Aut}(\mathbb{Z}_4)$ : to je pravda, protože zobrazení
$r(b): \; a \in \mathbb{Z}_4 \mapsto a^{-1}$ je zřejmě bijektivní. Je to grupový homomorfismus díky komutativitě v $\mathbb{Z}_4$ .
(2): $r: \mathbb{Z}_4 \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}_4)$ je grupový homomorfismus: to není pravda, protože pokud si zvolím libovolné $b_1,b_2 \in \mathbb{Z}_4$ , je na jednu stranu
$r(b_1b_2) : a \mapsto a^{-1}$ , kdežto
$r(b_1) \circ r(b_2) : a \mapsto \left( (a)^{-1} \right)^{-1}=a$ . Protože v $\mathbb{Z}_4$ existuje prvek s řádem vyšší než dvě, není vždy $a=a^{-1}$ .