Matematické Fórum

cyrano52 · 30. 03. 2012 09:44

Dobrý den, potřeboval bych poradit s tímto příkladem, vůbec nevím, jak na to:

Užitím binomické věty dokažte, že platí:

$\forall n\in \mathbb{N}$ je číslo $4^{n}-1$ dělitelné 3.

Díky za pomoc.

Rumburak

Ahoj.
Napiš si $4^{n}$ jako $(3+1)^{n}$ a to rozveď podle binomické věty. Dostaneš tedy $4^{n}-1= (3+1)^{n}-1 = (...) - 1 = ...$ .
Z tvaru výsledku tohoto výpočtu se to už snadno pozná.

cyrano52 · 30. 03. 2012 10:04

A jak mám rozvést $(3+1)^{n}$ , když neznám n.

Rumburak

↑ cyrano52:
Rovněž vzorec z binomické věty je vyjádřen pro obecné přirozené n .

cyrano52 · 30. 03. 2012 10:25

Já vím, ale do kolikátého členu mám až postupovat? Do nekonečna se mi nechce, tolik času nemám :)

Cheop · 30. 03. 2012 10:50 — Editoval Cheop (30. 03. 2012 12:03)

↑ cyrano52:
Do nekončna počítat nemusíš protože dostaneš:
${n\choose n-k}\cdot 3^{n-k}+1-1$ a toto je vždy dělitelné 3

Rumburak

↑ cyrano52:

Úkolem samozřejmě není probírat postupně všech nekonečně mnoho přirozených čísel a ověřovat platnost onoho tvrzení pro každé z nich.

Je potřeba podívat se na úlohu následovně:
Shrňme banální fakta. Výraz $V(n) := 4^{n}-1$ závisí na parametru $n$ . Jestliže parametr $n$ probíhá všechna přirozená čísla,
pak i hodnota výrazu $V(n)$ je vždy rovna některému přirozenému číslu a tyto hodnoty se neopakují, takže je jich nekonečně mnoho
- tak, jako všech přirozených čísel. To je jistě zřejmé. My máme dokázat, že hodnota výrazu $V(n)$ je dělitelná 3-mi NEZÁVISLE NA
VOLBĚ PŘIROZENÉHO ČÍSLA $n$ . Tohoto cíle dosáhneme, když výraz $V(n)$ upravíme do tvaru $V(n)=3F(n)$ , jehož část $F(n)$
bude nabývat pouze celočíselných hodnot NEZÁVISLE NA VOLBĚ PŘIROZENĚHO ČÍSLA $n$ . K takové úpravě včetně nalezení výrazu $F(n)$
s uvedenou vlastností nám pomůže vzorec z binomické věty PRO OBECNÉ $n$ .