Matematické Fórum

Sofrineta · 30. 03. 2012 18:47

Ahojte,
riešim ADI metodu na Bc. pracu a na ukazanie istej vlastnosti by som potrebovala PDR tvaru
$Ut-\nabla (coef.\nabla U)=0$ (Ut znamena parcialnu diferenciu fcie U podla casu)
to znamena s nulovou pravou stranou teda f=0 a s koeficientom inym nez 1..toto je velmi dolezite pretoze rovnicu s coef=1 mam lenze to je zas pre moje potreby Bc. moc jednoduchy tvar.. nasla som nejake tvary pre vlnenie avsak ja potrebujem rovnicu skor pre vedenia tepla pretoze zadavam Dirichletove okrajove podmienky ktore su vlastne hodnotami fcie U na hranach 1-tkovej kocky. Potrebujem teda tvar PDR aj jeho presne riesenie to ci to bude naozaj sediet si viem odvodit.
Keby ste mi niekto vedeli poradit velmi by ste ma potesili :)

lukaszh · 30. 03. 2012 22:24

↑ Sofrineta:

Explicitné riešenie RVT na ohraničenej oblasti (úsečka, obdĺžnik, kváder) možno riešiť separáciou. Pre nekonštantné koeficienty je to netriviálna úloha. V prípade len konštantných koeficientov je

$\nabla\cdot(k\nabla U)=k(\nabla\cdot\nabla U)=k\nabla^2 U$

Riešenie separáciou dá funkciu U v tvare nekonečnej sumy. Viac o separácii na wikipédii.

http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation

Sofrineta · 30. 03. 2012 22:45

↑ lukaszh:
Vdaka ale ja nepotrebujem nic riesit separaciou premennych ja potrebujem odniekial zistit vyslovene len tvar PDR a k nemu prisluchajuce riesenie ... potom PDR budem riesit numericky a to z dovodu ze chcem na nej prezentovat vyhodnost danej numerickej metody teda napriklad to ze pri pouziti inych metod ADI je podstatne efektivnejsia nez ony atd..skratka hladam PDR ktora ma vyssie spomenute vlastnosti. Ja nemam ziadnu rovnicu ktoru chcem analyticky riesit chcem len priklad rovnice ktora splna tie poziadavky aby som na nej mohla spustit moj naprogramovany algoritmus a potom jeho vysledky mohla porovnavat s inymi.

lukaszh · 31. 03. 2012 10:09

↑ Sofrineta:

Nechceš nič riešiť, ale chceš riešenie. Zaujímavé. Ďalej ti neviem poradiť. Vymyslieť si rovnicu je triviálna úloha. Avšak riešenie nespadne len tak z neba. Okrem toho nechápem tomu, že chceš demonštrovať výhodnosť tvojho algoritmu na jednej úlohe. Snáď ti poradí niekto iný, kto lepšie rozumie tvojej potrebe.

Sofrineta

↑ lukaszh:
Samozrejme mám viacero PDR na ktorych algoritmus nechavam zbehnut su to ulohy kde dopredu viem ake je presne riesenie danej diferencialnej rovnice okrem nich vsak potrebujem aj jeden pripad PDR ktora bude mat 0lovu pravu stranu cize moja otazka je nie ako to riesit ale ci sa tu nahodou niekto na tomto fore nestretol s takym pripadom. Samozrejme ze je to tazke skusala som si nejaku PDR odvodit ale vymysliet take presne riesenie aby sa mi podla vymysleneho tvaru PDR znulovala casova derivacia s deriavciami podla priestorovych premennych nie je take lahke a na nete som tiez nic nedokazala najst.

jardofpr · 31. 03. 2012 14:37

↑ Sofrineta:

ahoj, tie okrajové podmienky si myslela na hranách či na stenách kocky?
teda ak v 3D znamená že priestorová premenná je trojzložkový vektor, tak Dirichletove okr.podm.
by nemali byť na celej hranici množiny na ktorej hľadáš riešenie?

Sofrineta · 31. 03. 2012 15:21

↑ jardofpr:
ano pesne tak trosku zle som sa vyjadrila tie Dirichletove OP budu na celom povrchu kocky a budu to vlastne vycislene hodnoty presneho riesenia PDR v gridovych bodoch tychto stien. Zvysne hodnoty "neznamej" funkcie dopocitam numericky a porovnam s vycislenymi hodnotami presneho riesenia vo vnutornych gridovych bodoch kocky.

jardofpr · 31. 03. 2012 16:28

↑ Sofrineta:

polohu kocku máš stanovenú pevne?
ak áno, leží celá v prvom oktante alebo uvažuješ aj záporné hodnoty zložiek priestorovej premennej?

Sofrineta · 31. 03. 2012 17:03

↑ jardofpr:
je v prvom oktante presne [0,1]x[0,1]x[0,1]

jardofpr

↑ Sofrineta:

ok, takže chceš pravdepodobne niečo takéto?
$\bar{x}:=(x_{1},x_{2},x_{3})\in D\,\,,\,\,D:=(0,1)\times(0,1)\times(0,1)\subset \mathbb{R}^{3}$
$K>0$

hľadá sa funkcia
$u:\bar{D}\times(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$
$(\bar{x},t) \mapsto u\,(\bar{x},t)$ spĺňajúca

$\frac{\partial \,u\,(\bar{x},t)}{\partial \,t}-K\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2}\,u\,(\bar{x},t) }{\partial \, x_{i}^{2} } = 0\,\,,\qquad \qquad \forall \bar{x} \in D\,,\,0<t$
$u(\bar{x},0)=g(\bar{x}) \,,\quad \forall \bar{x} \in D$ (toto je myslené ako limita, funkcia $u$ v $t=0$ definovaná nebude)
$u(\bar{x},t)=f(\bar{x},t)\,,\,\,\,\,\,\,\, \forall \bar{x} \in \partial D$

EDIT:
zrejme by tam ešte malo byť v zač.podm. $\frac{\partial u(\bar{x},0)}{\partial t}=h(\bar{x})\,,\,\, \forall \bar{x} \in D$

aspoň mám ten pocit

Sofrineta

↑ jardofpr:
ano chcem presne niečo také len s malým rozdielom že u v case t=0 bude definované ..je to toiž moja počiatočná podmienka ktora je známa vďaka presnemu riešeniu ...najlepšie bude keď uvediem príklad:
Nech presné riešenie je $u=\frac{x^2+y^2+z^2}{6}+t$
PDR vo vseobecnosti je $\frac{\partial u}{\partial t} -\nabla (coef\nabla u)=f$
V tomto pripade vsak coef =1 teda prislusna PDR bude tvaru $\frac{\partial u}{\partial t} -\Delta u=f$
Z nasledujúceho postupu bude vidiet ze jedna z mojich podmienok je splnena a to f =0
1. riesenie parcialne derivujem teda $u_x=\frac{x}{3}$ , $u_y =\frac{y}{3}$ , $u_z =\frac{z}{3}$ , $u_t=1$
2.mame tvar $u_t-(coef u_x)_x-(coefu_y)_y-(coef u_z)_z=f$
kedze coef je v tomto pripade iba 1 po zderivovani dostavam tvar
$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=f$
cize na tomto priklade vidno ako mozno ziskat f=0 , teda tým že si vymyslím vhodne presne riesšenie a spravnz koeficient u teba K..ked sa však pokusim zadat iny coef vsetko sa razom komplikuje :(

jardofpr

↑ Sofrineta:

aha takto, takže ty vychádzaš z konkrétne definovanej funkcie $u_{x,t}$ ?
nehľadáš riešenie rovnice?

proste potrebuješ len zadanie príkladu,
jeho riešenie a jediné čo s tým potrebuješ robiť je overiť či to tak skutočne je?

Sofrineta

↑ jardofpr:
presne ja tu len hladam pomoc v tom zmysle ci sa tu niekto nestretol s takym presnym riesenim ktore by splnalo akukolvek dif rovnicou ktora ma $coef \not= 1$ a $f=0$

bingo :)..konecne sa mi to podarilo vysvetlit :)

jardofpr · 31. 03. 2012 22:56

↑ Sofrineta:

konečne online zasa ..

čo funkcia $u=\frac{x^2+y^2+z^2}{6\,K}+t$

a rovnica $U_{t}-K \, U_{\bar{x}\bar{x}}=0$ ?

Sofrineta · 01. 04. 2012 08:26

↑ jardofpr:
hm je to ten isty pripad ako pri coef = 1 ciize coef by mal byt teda nekonstantny

jardofpr · 01. 04. 2012 12:16

↑ Sofrineta:

priznám sa že som nerozumel tvojmu komentáru

teda, chcela si aby koef bola funkcia od niektorej z premenných x,t ?

Sofrineta · 01. 04. 2012 15:50

↑ jardofpr:
ano :)

jardofpr

↑ Sofrineta:

aha ..
$coef:D\times[0,\infty] \rightarrow \mathbb{R}$ alebo $coef:D\times[0,\infty]\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ?

teda, skalárna alebo vektorová funkcia?

Sofrineta · 01. 04. 2012 18:02

↑ jardofpr:
hm ...na 99,5% skalarna..ale si ma teraz dostal

jardofpr

ako,
keď ti stačí skalárna funkcia a chceš si takýmto spôsobom vymyslieť úlohu, môžeš to urobiť nejak takto

definuješ si funkciu $U(\bar{x},t) = U(x_{1},x_{2},x_{3},t)$ tak aby mala potrebnú spojitosť na
množine na ktorej chceš pracovať

vypočítaš
$\frac{\partial U}{\partial t},\frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i}^{2}}$ pre $i=1,2,3$ , ak je niektorá z týchto funkcií nespojitá na spomínanej množine alebo nie je definovaná v niektorej jej bodoch, tak by bolo dobré pozmeniť $U$ tak aby sa tomu zabránilo

chceš aby funkcia spĺňala rovnosť

$U_{t}-\mathrm{coef}(\bar{x},t).\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i}^{2}}=0$

kde
$coef:[0,1]^{3}\times[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$
$(\bar{x},t)\mapsto \mathrm{coef}(\bar{x},t)$ je spojitá skalárna funkcia

teda si odvodíš funkciu $coef$ :
$U_{t} =\mathrm{coef}(\bar{x},t).\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i}^{2}}$

teda

$\mathrm{coef}(\bar{x},t)=\frac{U_{t}}{\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i}^{2}}}$

budeš mať rovnicu

$U_{t}-\mathrm{coef}(\bar{x},t)\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial^{2} U}{\partial x_{i}^{2}}=0$ ktorú, ako zistíš hneď pri pohľade na funkciu $\mathrm{coef}$ v rovnici vyššie, určite spĺňa funkcia $U$ ktorú si si na začiatku vymyslela

stačí tak?

poznámka:
ak by si trvala na tom, že to má byť RVT, tak funkcia $\mathrm{coef}$ by pravdepodobne nemala závisieť od $t$

Sofrineta

↑ jardofpr:
uz som sa chcela tak tesit az po povalu skakat ..ale bohuzial ked mi to v programe nevychadzalo tak ako by malo pozrela som sa blizsie na to odvodenie a bohuzial je zle ...nevsimol si si mozno jednu vec ..a to ze koeficient sa nasobi s 1. derivaciou a potom sa tento sucin znovu derivuje (teda aj coef bude zderivovany) a az potom sa zvysky derivacie maju vykratit s casovou parcialnou derivaciou ..a toto derivovanie coeficientu tam vobec nemas zahrnute

jardofpr · 02. 04. 2012 00:44

↑ Sofrineta:

samozrejme, pravdu máš, pôvodná úloha vyzerá trochu inak

lukaszh · 02. 04. 2012 07:34

Nič to ale nemení na fakte, že možno zobrať koeficienty závislé len od času. Potom iste platí

$u_t=c(t)\nabla^2u$

Sofrineta · 03. 04. 2012 08:59

↑ lukaszh:
ano tento pripad to este splna vymyslela som si na to jeden priklad no konzultantka mi povedala ze to tiez nieje dobry priklad koli tomu ze ma premenny koeficient ....popravde neviem ci je rozdiel ze coef je zavisly od x,y,z alebo od t..ale asi tam ten rozdiel je
kazdopadne dakujem za vasu snahu
ak sa dopracujeme k vhodnemu prikladu aspon ho tu zverejnim ....

jardofpr · 03. 04. 2012 14:25

↑ Sofrineta:

no, iste záleží aj od toho čo rovnicou modeluješ..

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2012 18:47

Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#2 30. 03. 2012 22:24

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#3 30. 03. 2012 22:45

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#4 31. 03. 2012 10:09

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#5 31. 03. 2012 10:55 — Editoval Sofrineta (31. 03. 2012 11:15)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#6 31. 03. 2012 14:37

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#7 31. 03. 2012 15:21

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#8 31. 03. 2012 16:28

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#9 31. 03. 2012 17:03

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#10 31. 03. 2012 17:49 — Editoval jardofpr (31. 03. 2012 18:07)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#11 31. 03. 2012 18:30 — Editoval Sofrineta (31. 03. 2012 18:32)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#12 31. 03. 2012 18:47 — Editoval jardofpr (31. 03. 2012 18:50)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#13 31. 03. 2012 18:52 — Editoval Sofrineta (31. 03. 2012 18:53)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#14 31. 03. 2012 22:56

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#15 01. 04. 2012 08:26

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#16 01. 04. 2012 12:16

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#17 01. 04. 2012 15:50

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#18 01. 04. 2012 16:49 — Editoval jardofpr (01. 04. 2012 17:04)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#19 01. 04. 2012 18:02

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#20 01. 04. 2012 18:05 — Editoval jardofpr (01. 04. 2012 18:48)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#21 01. 04. 2012 19:07 — Editoval Sofrineta (01. 04. 2012 19:58)

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#22 02. 04. 2012 00:44

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#23 02. 04. 2012 07:34

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#24 03. 04. 2012 08:59

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

#25 03. 04. 2012 14:25

Re: Parciálna diferencialna rovnica (PDR) s 0-lovou pravou stranou v 3D

Zápatí