Matematické Fórum

FlyingMonkey · 03. 04. 2012 00:22

Zdravím,

mám tu takový příklad pěkný :))

"Je dán trojúhelník ABC a=6cm, b=4cm, c=8cm ... Na straně AB leží bod M tak, že obsah trojúhelníku ABC je dvakrát větší, než obsah trojúhelníku MBN, kde $N \in BC \wedge MN \parallel AC$ ... Vypočítejte délku úsečky AM."

$\frac{c\cdot vc}{2}=c_{2}\cdot v_{c_{2}}$

Měl jsem plán získat $c_{2}$ a když bych pak odečetl tuto hodnotu od AB mám výsledek :)

mno vyjádřil jsem si teda $c_{2}=\frac{c\cdot v_{c}}{2\cdot v_{c_{2}}}$

Pak jsem se pokusil z podobnosti trojúhelníku vyjádřit $v_{c_{2}}$ , které neznám pomocí známých, došel jsem sem:

$\frac{v_{c}}{|CB|}=\frac{v_{c_{2}}}{(|CB|-|NB|)}$

Ale pořád mám moc, moc neznámých :) Díky!

Hanis · 03. 04. 2012 08:04

Ahoj!

HINT: $S=\frac12 a\cdot b\cdot \sin\gamma$

FlyingMonkey · 03. 04. 2012 17:22

Díky za tip, zkusil jsem to, ale nevyšlo :D

$\frac{a}{a_{2}}=\frac{b}{b_{2}}$

Z kosinovky úhel gama:
$\gamma =104°$
$absin\gamma =2a_{2}b_{2}sin\gamma$
$b_{2}=\sqrt{\frac{12b}{a}};b_{2}=2\sqrt{2};a_{2}=3\sqrt{2}$

pak další cosinovka na získání $c_{2}$ , my ale vychází $c_{2}>AB$ , což je blbost ... :)

hm, hm ... jdu na to někde špatně? .) Díky

jelena · 04. 04. 2012 20:28

↑ FlyingMonkey:

Zdravím,

s kolegou ↑ Hanis: případně dodiskutujte jeho návrh. Mně se zda pohodlnější použití Heron. vzorce..

Strany malého trojúhelníku mohu vyjádřit přes strany velkého ABC pomoc koeficientu stejnolehlosti:
např. $a_1=\kappa\cdot a$ a po dosazení do vzorce pro S mám rovnici s jednou neznámou $\kappa$ . Atd.

Hanis · 05. 04. 2012 08:01

Ahoj. Předně se omlouvám za pozdní odpověď - snad je ještě aktuální.

Veličiny většího trojúhelníka budu značit indexem v, malého indexem m.

Zavedu koeficient podobnosti k, takže:
$k\cdot a_v=a_m$
$k\cdot b_v=b_m$
$k\cdot c_v=c_m$

Podle ↑ Hanis::
$S_v=2S_m$
$\frac12 a_v\cdot b_v \cdot \sin \gamma=a_m\cdot b_m \cdot \sin \gamma$

Pokrátím siny, protože podobnost zachovává úhly a malé strany vyjádřím jako velké*koeficient:
$\frac12 a_v\cdot b_v=k\cdot a_v\cdot k \cdot b_v$

Strany se zkrátí a ty vypočítáš koeficient, poté by už neměl být problém :-)

jelena · 05. 04. 2012 16:06

↑ Hanis:

děkuji. To je zajímavý úkaz - přes každý způsob vyjádření obsahu dojdeme k faktu, že poměr obsahů plošných útvaru se rovná druhé mocnině koeficientu homotetie (což bychom dokazovat nemuseli :-)

Ale pro samotný výpočet obsahu nového trojúhelníku přece jen bych se přimluvila za Herona.

Kolegovo téma jsem včera našla při úklidu a pokud kolega si neudělá pořádek v tématech a nepooznačuje téma za vyřešená, tak ho nechám na týden přeřadit do jiného oddílu :-) Zítra večer zkontroluji.

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2012 00:22

Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

#2 03. 04. 2012 08:04

Re: Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

#3 03. 04. 2012 17:22

Re: Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

#4 04. 04. 2012 20:28

Re: Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

#5 05. 04. 2012 08:01

Re: Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

#6 05. 04. 2012 16:06

Re: Planimetrie - výpočty| Podobnost trojúhelníků

Zápatí