Matematické Fórum

lukash188 · 26. 10. 2008 15:52

Ako by sa dala vypocitat tato limita:
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{nF+n^2+1 }{5^n+n^3+2}$
F - faktorial

Dik moc ...

Jakub Pištěk · 26. 10. 2008 16:18

Já bych to řešil že bych za n dosadil třeba 10 zjistil bych kolik je hodnota pak bych dosadil třeba 50 a uvidim jestli se hodnota zvýší nebo sníží a tim zjistim jeslti limita jde k nekonečnu nebo k nule

kaja.marik · 26. 10. 2008 22:32

nejdriv bzch premyslel nad limitou ${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n!}{5^n}$ , protoze ty ostatni cleny asi tak velky vliv v nekonecnu nemaji. az budu vedet jak na to, tak se vratim k puvodni limite a bude vse jasnejsi.

staci takto?

lukash188 · 28. 10. 2008 10:12

Aj tento druhy vyraz je tvaru nekonecno lomene nekonecno... Tak ako by sa to potom upravilo???

kaja.marik

↑ lukash188:
Urcite ne l'Hospitalovo pravidlo, radeji bych premyslel nad tim,jak poslounost vypada. Takze vypsat prvnich 50 clenu a potom dumat nad rekurentnim vzorcem $a_n=\frac{n}5 \cdot a_{n-1}$ (ten totiz generuje cleny te posloupnosti)

Saturday · 29. 10. 2008 23:04

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n!+n^2+1 }{5^n+n^3+2}$

1)
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n!+n^2+1 }{5^n+n^3+2} = {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n!}{5^n+n^3+2} + {\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1 }{5^n+n^3+2}$ (díky aritmetice limit)

2)

Spočítejme nejdříve limitu: ${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1 }{5^n+n^3+2}$

Zde jsou dvě možnosti, jak k limitě přistupovat:
1] buď prohlásíme, že exponenciální funkce $a^n$ (a je konstanta) roste rychleji než mocninné funkce ( $n^b$ , kde b je konstanta)
2] nebo to dokážeme pomocí odhadu:

$5^n > 2^n = (1 + 1)^n = {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n} \ge {n \choose 3}$

Tedy: ${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1 }{{n \choose 3}+n^3+2}$
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1 }{\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)}{3!}+n^3+2}$
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1 }{\frac{n^3 -3 n^2 + 2 n}{6}+n^3+2}$
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{6 (1+n^2)}{12+2 n-3 n^2+7 n^3}$

z toho už vidíme, že limita jde k nule.

3) Nyní zbývající limita:

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{n!}{5^n+n^3+2}$

Jednoduchým přepisem můžeme dostat:

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{5^n+n^3+2}{n!}}$
${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{5^n+n^3+2}{n!}} = \frac{{\lim}\limits_{n \to \infty} 1}{{{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{5^n+n^3+2}{n!}} = \frac{1}{{{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{5^n}{n!} + {{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{n^3}{n!} + {{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{2}{n!}}$ (znovu aritmetika limit)

Nyní ${{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{5^n}{n!}$ je známá limita (můžeš ji nalézt v Bartschovi a určitě i v jiných knihách) jdoucí k nule.

${{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{n^3}{n!}$ - zde můžeš použít odhadu: $n^{\frac{n}{2}} < n!$ (lze nalézt v Kapitolách z diskrétní matematiky od J. Matouška), tedy ${{\lim}\limits_{n \to \infty}}\frac{n^3}{n^{\frac{n}{2}}$ a srovnáním mocnitelů vidíš, že limita jde opět k nule.

Zbývající limita jde také k nule - to je očividné

takže celá limita jde k nule

======

když se vrátíme k limitě (1), dozvěděli jsme se, že obě limity napravo jsou nula, tudíž nula je výsledek tvé limity

__________________________________________
(Dělal jsem to schválně podrobně, sem už takový :-))