Matematické Fórum

Aquabellla · 03. 04. 2012 17:26

Krásné odpoledne.

Mějme vektor (1,-1,1) z $\mathbb R^3$ . Najděte jeho ortogonální doplněk (parametrický popis) vůči skalárnímu součinu (= bilineární formě) určenému maticí:
(1 1 1)
B = (1 -1 0)
(1 0 -1)
Dané tři vektory (tj. ten původní plus ty dva z doplňku) ortogonalizuj vůči skalárnímu součinu určeného maticí B pomocí Gramm-Schmidtovy ortogonalizace. Po ortogonalizaci ještě vektory znormuj a napiště matici skalárního součinu B v bázi jimi určené.

Řešení:
(1 1 1) (1)
(x1, x2, x3) . (1 -1 0) . (-1) = 0
(1 0 -1) (1)

Z toho získávám: $x_1 + 2x_2 = 0$ . Potřebuji to převést na parametrický tvar. Dávám parametr $x_2 = t$ , takže $x_1 = -2t$ => $t(-2, 1, 0)$
Ortogonální doplněk: (-2, 1, 0).

Můj problém:
1) Skalární součin ortogonálního doplňku s vektorem v zadání nedává nulu.
$(-2, 1, 0) \cdot (1,-1,1) = -3$
2) Ze zadání plyne, že mi měly vyjít vektory dva, mně vyšel ale jen jeden.

Kde dělám chybu?

Předem děkuji za každou radu.

vanok · 03. 04. 2012 17:32

Ahoj

1) Treba pouzivat stale ten dany skalarny sucin.( ty i na skusku pouzila ten klasicky)
Zvysok zkontrolujem a napisem potom

vanok · 03. 04. 2012 18:24 — Editoval vanok (03. 04. 2012 18:25)

↑ Aquabellla:
Ak by si napisala mnozinu orhogonalnytch vektorov co si nasla tak by to vyzeralo takto
$x_1=-2t\\x_2=t\\x_3=u$ , kde t, u su parametre.( vsak si vlastne dokazala, medzi inym, ze x_3 je hociake realne cislo)

Staci?

Aquabellla · 03. 04. 2012 18:48

↑ vanok:

Děkuji, to mi nedošlo. Takže ty vektory jsou (-2,1,0) a (0,0,1).

Už mi došlo i to ověření, však jsem nahoře i ten vztah sama napsala, co musí platit :-)

Díky moc.

vanok · 03. 04. 2012 18:55 — Editoval vanok (03. 04. 2012 18:59)

↑ Aquabellla:
Napriklad. To je jedna baza toho orthogonalneho doplnku. Ale treba sa z tym trochu pohrat a miesto posledneho vektoru najst vdaka Gram_Schmidt-ovej metode taky vektor, co chcu v texte. (pozor, stale novy skalarny sucin)
Tak dobre pokracovanie.

Aquabellla · 03. 04. 2012 19:22

↑ vanok:

$\alpha = \{v_1, v_2, v_3 \}$ , kde $v_1 = (1, -1, 1)$ , $v_2 = (-2, 1, 0)$ , $v_3 = (0, 0, 1)$
A chci najít $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , pro které platí:
$u_1 = v_1$
$u_2 = v_2 - \frac{<v_2, u_1>}{<u_1, u_1>} \cdot u_1$
$u_3 = v_3 - \frac{<v_3, u_1>}{<u_1, u_1>} \cdot u_1 - \frac{<v_3, u_2>}{<u_2, u_2>} \cdot u_2$

V čitateli $u_2$ dělám skalární součin $v_1$ a $v_2$ , což jsou na sebe kolmé vektory, skalární součin je nulový, tudíž $u_2 = v_2$ .

U vektoru $u_3$ : $<v_3, u_1> = <v_3, v_1> = 0$ a $<v_3, u_2> = <v_3, v_2> = -2$ a $<u_2, u_2> = -1$ .
$u_3 = (0, 0, 1) - \frac{-2}{-1} \cdot (-2, 1, 0) = (4, -2, 1)$

Mám to správně?
A prosím tě, jak se normují vektory? Ve skriptech to nemohu najít a na přednášce jsem chyběla a ještě si to nestačila dopsat. Děkuji :-)

vanok · 03. 04. 2012 19:30 — Editoval vanok (03. 04. 2012 19:32)

↑ Aquabellla:,
vypocty skontrolujem az ked sa najem

Normovat $\vec u$ , to je delit z normov vektoru $\vec u$ co je odmocnina skalarneho sucinu
$\vec u \cdot \vec u$

pozri aj tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80 … dt_process

vanok · 03. 04. 2012 20:05

↑ vanok:,
Tvoje vypocty su ok, staci uz len normalizovat.

Aquabellla · 03. 04. 2012 20:39

↑ vanok:

Děkuji.

$||u_1|| = 1$ , $||u_2|| = 1$ , $||u_3|| = \sqrt3$

Normovaný vektor $u_1$ : $\frac{u_1}{||u_1||} = (1, -1, 1)$
Normovaný vektor $u_2$ : $\frac{u_2}{||u_2||} = (-2, 1, 0)$
Normovaný vektor $u_3$ : $\frac{u_3}{||u_3||} = (\frac{4}{\sqrt3}, -\frac{2}{\sqrt3}, \frac{1}{\sqrt3})$