Matematické Fórum

gigo · 04. 04. 2012 00:34

zdravím
potřebuji ověřit že g je skalární součin na vektorovém prostoru $R^{2*2}$ zadané předpisem $g(X,Y)=Tr(Y^T*X)$ , kde Tr značí stopu matice tj. součet prvků na diagonále
a to mi dělá zřejmě problém
děkuji

jardofpr

↑ gigo:

ahoj, prvkami priestoru majú byť matice $2 \times 2$ s reálnymi prvkami?

$Y=\left(\begin{matrix} y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22} \end{matrix}\right)$ $X=\left(\begin{matrix} x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22} \end{matrix}\right)$ $Tr(Y^{T}X)=\sum_{i,j=1}^{2}x_{ij}y_{ij}$

1.) tento skalárny súčin musí byť zobrazenie
$\langle \rangle :R^{2*2} \times R^{2*2} \rightarrow \mathbb{R}$
$(X,Y)\mapsto \langle X,Y\rangle :=Tr(Y^{T}\,X)\in \mathbb{R}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall (X,Y) \in R^{2*2}\times R^{2*2}$

pre každú usp. dvojicu $(X,Y)$ musí existovať reálne číslo $A_{XY}$ tak, že $\langle X,Y \rangle = A_{XY}$

2.)musí platiť $\forall X,Y \in R^{2*2}$

$\langle X,Y \rangle = \langle Y,X \rangle$ t.j. overíš či $Tr(Y^{T}X)=Tr(X^{T}Y)$

3.)musí byť $\forall X,Y,Z \in R^{2*2}$

$\langle X+Y,Z \rangle =\langle X,Z \rangle + \langle Y,Z \rangle$ teda overiť či
$Tr(Z^{T}(X+Y))=Tr(Z^{T}X)+Tr(Z^{T}Y)$

4.)musí platiť $\forall r \in \mathbb{R}\,,\,\forall X,Y \in R^{2*2}$

$\langle r.X,Y\rangle=r.\langle X,Y\rangle$

overuješ pravdivosť $Tr(Y^{T}.r.X)=r.Tr(Y^{T},X)$

5.)nakoniec $\forall X \in R^{2*2}$ musí platiť

$\langle X,X \rangle \geq 0$ a $\langle X,X \rangle=0 \,\,\Leftrightarrow \,\, X=0$

kaja.marik · 04. 04. 2012 06:35

Anebo bych popremyslel, jestli se z to neda prevest na pripad, ze z matic udelam vhodne vektory dimenze 4 tak, aby mi ten vzorec dal neco, o cem vim , ze to skalarni soucin je. To je potom na dva radky :)

jardofpr · 04. 04. 2012 15:49

↑ kaja.marik:

no hej .. a potom raz prídem ku príkladu ktorý takýmto spôsobom nebudem vedieť previesť,
a keďže som sa nenaučil overovať vlastnosti skalárneho súčinu na iných priestoroch ako $\mathbb{R}^{n}$
nebudem ho vedieť vyriešiť :-)

gigo · 05. 04. 2012 14:39 — Editoval gigo (05. 04. 2012 15:22)

↑ kaja.marik: ↑ jardofpr:
dale mam urcit $\parallel A \parallel _g$
kde A ma na prvnim radku hodnoty $\frac{\pi}{\sqrt3}, \frac{\pi}{\sqrt3}$
v druhem radku $\frac{\pi}{\sqrt3}, 0$
vychazi mi to pi je to dobre?

a dale urciti bazi ${A}^\perp _g$ pozn A je v takovych zavorkach ktere tex "sezral" {}

jardofpr

↑ gigo:

čo u vás znamená zápis $\parallel A \parallel _g$ ?

to je norma generovaná skalárnym súčinom?

ak hej tak výsledok je správny

podľa $\| A \|_{g}:=\sqrt{g(A,A)}$

keď chceš zobraziť zožrané zátvorky treba pred každú z nich dať \
teda kód

$\{ \}$

zobrazí $\{ \}$

gigo · 05. 04. 2012 16:16

↑ jardofpr:
ano norma
a ta baza se urcuje jak

jardofpr · 05. 04. 2012 16:38

↑ gigo:

$A=\frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right)$

pre nájdenie $\{A\}_{g}^{\perp}$ môžeš napr nájsť tri lineárne nezávislé prvky s $A$ v priestore $R^{2\times 2}$ a G.-S. ortogonalizáciou spraviť z toho ortogonálnu bázu obsahujúcu $A$

budeš mať bázu $A,B,C,D$ a báza $\{A\}_{g}^{\perp}$ bude $\{B,C,D\}$

gigo · 05. 04. 2012 16:59

↑ jardofpr:
kdyz vezmu
1 0
0 0

0 1
0 0

0 0
0 1

je to o.k.?

jardofpr · 05. 04. 2012 17:19

↑ gigo:

jj, sú nezávislé medzi sebou aj s A
čo ti z toho vyšlo?

gigo · 05. 04. 2012 18:36 — Editoval gigo (05. 04. 2012 18:38)

↑ jardofpr:
vyslo mi B
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ; \frac{-1}{\sqrt{6}}$
$\frac{-1}{\sqrt{6}} ; 0$
C
$0 ; \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{-1}{\sqrt {2}} ; 0$
D
0 ; 0
0 ; 1

je to ok

prip by me jeste zajimalo kdyz mam hledat nejakou ortonormalni bazi $(R^{2*2},g)$ tak jak na totok s postupem

jardofpr · 05. 04. 2012 19:07

↑ gigo:

báza je ok

z ortogonálnej bázy urobíš ortogonálnu tak,
že zariadiš aby pre každý prvok bázy platilo že jeho norma je rovná jednej

tu máš normu ako je písané vyššie, generovanú skalárnym súčinom
pre každý prvok $X$ z daného priestoru je

$\| X \|_{g}=\sqrt{g(X,X)}$

$A$ je prvok bázy , tak ako každému
prvku v danom priestore mu vieme priradiť reálne číslo ktoré predstavuje jeho normu,
toto číslo označíme $\|A\|_{g}$

$\| A \|_{g} = \sqrt{g(A,A)}$

chceme z $A$ vytvoriť taký jeho nenulový násobok $\tilde{A}=c.A\,,\,c \in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ , ktorého veľkosť bude $\|\tilde{A}\|=1$
(násobenie prvkov v priestore skalármi z daného telesa/poľa nezmení na ortogonalite nič,
v tomto prípade sú skalármi reálne čísla)

z vlastností normy $1=\|\tilde{A}\|_{g}=\|c.A\|_{g}=|c|.\|A\|_{g}$
teda hľadané $c$ je číslo $\frac{1}{\|A\|_{g}}$

v skratke,
vieš vypočítať $\| A \|_{g}\,,\,\| B \|_{g}\,,\,\| C \|_{g}\,,\,\| D \|_{g}$

ortonormálna báza bude

$\{\frac{A}{\|A\|_{g}}\,,\, \frac{B}{\|B\|_{g}}\,,\,\frac{C}{\|C\|_{g}}\,,\,\frac{D}{\|D\|_{g}}\}$

gigo · 05. 04. 2012 19:51

↑ jardofpr:
a jeste predtim nez vim jak je zadana A tak chci najit nejakou ortonormalni bazi g

jardofpr · 05. 04. 2012 20:08

↑ gigo:

myslel si ortonormálnu bázu priestoru $R^{2*2}$ ?

pokiaľ máš nájsť ľubovoľnú ortonormálnu, tak môžeš
1.) zobrať ľubovoľnú ortogonálnu bázu a uvedeným spôsobom z nej urobiť ortonormálnu,
ak už náhodou ortonormálna nie je
2.) zobrať ľubovoľnú bázu, ak nie je ortogonálna, urobiť z nej ortogonálnu, a potom pokračovať s bodom 1.)

gigo · 05. 04. 2012 20:55

↑ jardofpr:
ano myslel
takze se vezmou matice
1 0
0 0

0 1
0 0

0 0
1 0

0 0
0 1

tyto coz by mela být báze

jardofpr · 05. 04. 2012 21:50

↑ gigo:

áno, napríklad, lebo každá matica $A$ sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových prvkov

$A=\left(\begin{matrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{matrix}\right)=a_{11}\left(\begin{matrix} 1&0\\0&0\end{matrix}\right)+a_{12}\left(\begin{matrix} 0&1\\0&0\end{matrix}\right)+a_{21}\left(\begin{matrix} 0&0\\1&0\end{matrix}\right)+a_{22}\left(\begin{matrix} 0&0\\0&1\end{matrix}\right)$

keďže $g(X,Y)=Tr(Y^T*X)=\sum_{i,j=1}^{2}x_{ij}y_{ij}$

tak je rovno vidieť že táto báza je ortogonálna

zároveň $\|X\|_{g}=\sqrt{g(X,X)}=\sqrt{\sum_{i,j=1}^{2}x_{ij}^{2}}$

tak je táto báza iste ortonormálna

gigo · 05. 04. 2012 22:23

↑ jardofpr:
dekuji

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 00:34

skalární součin

#2 04. 04. 2012 00:56 — Editoval jardofpr (05. 04. 2012 15:32)

Re: skalární součin

#3 04. 04. 2012 06:35

Re: skalární součin

#4 04. 04. 2012 15:49

Re: skalární součin

#5 05. 04. 2012 14:39 — Editoval gigo (05. 04. 2012 15:22)

Re: skalární součin

#6 05. 04. 2012 15:43 — Editoval jardofpr (05. 04. 2012 16:38)

Re: skalární součin

#7 05. 04. 2012 16:16

Re: skalární součin

#8 05. 04. 2012 16:38

Re: skalární součin

#9 05. 04. 2012 16:59

Re: skalární součin

#10 05. 04. 2012 17:19

Re: skalární součin

#11 05. 04. 2012 18:36 — Editoval gigo (05. 04. 2012 18:38)

Re: skalární součin

#12 05. 04. 2012 19:07

Re: skalární součin

#13 05. 04. 2012 19:51

Re: skalární součin

#14 05. 04. 2012 20:08

Re: skalární součin

#15 05. 04. 2012 20:55

Re: skalární součin

#16 05. 04. 2012 21:50

Re: skalární součin

#17 05. 04. 2012 22:23

Re: skalární součin

Zápatí