Matematické Fórum

Gero · 04. 04. 2012 19:50

Zdravím, mám zjistit inverzní matici k matici
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 2 1
5 4 3 2
chtěl bych poprosit, aby jste mi nenabízeli jiné možnosti řešení( je jich spousta), ale spíše mi řekli, jestli sem udělal chybu a kdyby ano, tak kde.
chtěl jsem do rádku(sloupce) dostat co největší počet nul(vybral jsem si 4-tý sloupec.
2 1 1 1
3 2 1 1 R2 - R1
4 3 2 1 R3 - R1
5 4 3 2 2*R1 - R4
dostaneme, zde jsem udělal rozvoj podle 4-tého sloupce
-1 -2 -1 0 -1 -2 -1
1 1 0 0 2*(-1)^(4+4) 1 1 0 odtud dostáváme, že determinant je 1
2 2 1 0 2 2 1
5 4 3 2

pokračoval jsem adjungovanou maticí
A11=1 A12=-1 A13=0
A21=0 A22=1 A23=-2
A31=1 A32=-1 A33=1
tu následně transponoval
1 0 1
-1 1 -1
0 -2 1
determinant vyšel jedna, tudíž, to je konec. Jenže ve výsledcích, kde to dělali pomocí GEM, dělali úpravu jednotkou maticí, to vyšlo
1 0 1 -1
-2 1 -1 1
1 -2 1 0
0 1 -2 1

jardofpr · 04. 04. 2012 20:07

ahoj ↑ Gero:

Gero napsal(a):
tu následně transponoval
1 0 1
-1 1 -1
0 -2 1

toto bol tvoj výsledok? alebo ktoré z toho?

Gero · 04. 04. 2012 20:10

↑ jardofpr:Ano to je můj výsledek

jardofpr

↑ Gero:

no, pre štvorcovú maticu $A$ stupňa $n$ a jej inverznú maticu $A^{-1}$ by malo platiť

$A^{-1}.A = A.A^{-1}=I_{n}$ kde $I_{n}$ je jednotková matica stupňa $n$

to znamená že matice sa musia dať vynásobiť z obidvoch strán

potom k matici $4\times 4$ musí byť (ak existuje) inverzná matica takisto $4\times 4$

to by ti malo hneď udrieť do očí

chyba zrejme bude niekde tam kde si prešiel pri výpočte od matice 4. stupňa k matici 3.stupňa

vanok · 04. 04. 2012 20:21

Pozdravujem ↑ jardofpr:,
Akoze kolega pouzil GEM v niektorych jeho etapach
Ale zabudol pridat sprevadzajucu jednodkovu maticu, co da maticu (4;8) na ktorej treba robit take upravy ( Gem) aby na konci dana matica bola transformovana na jednodkovu.

Gero · 04. 04. 2012 20:27

Ano vše, co zde bylo psané, jsem pochopil. To z matic 4x4, 5x5 a výš nejde zjistit inverzní matici jinak, než přes GEM? Laplaceova věta zde přece také musí jít použít, nebo se pletu?

jardofpr

ahoj ↑ vanok:

mám pocit že kolega sa skôr pokúsil zapojiť do riešenia Odkaz, ale zrejme nesprávnym spôsobom

↑ Gero:

je veľa spôsobov, ale mne osobne vyhovuje GEM pri takýchto nízkych stupňoch

akým spôsobom Laplaceov rozvoj?
celý názov sa často uvádza ako Laplaceov rozvoj determinantu,
teda dá sa použiť pri jeho výpočte,

ale medzi pôvodnou maticou a rozvitou pomocou tejto metódy neplatia žiadne nejaké rovnosti alebo niečo,
ak si mal na mysli také niečo

Gero napsal(a):
dostaneme, zde jsem udělal rozvoj podle 4-tého sloupce
-1 -2 -1 0 -1 -2 -1
1 1 0 0 2*(-1)^(4+4) 1 1 0 odtud dostáváme, že determinant je 1
2 2 1 0 2 2 1
5 4 3 2

pokračoval jsem adjungovanou maticí

nech matica naĺavo je $A$ a tá napravo je $B$

platí $\mathrm{det}(A)=2*(-1)^{(4+4)}\mathrm{det}(B)$

ale v žiadnom prípade nie je

$A=2*(-1)^{(4+4)}.B$

Gero · 04. 04. 2012 20:48

↑ jardofpr:Přesně to jsem myslel. Já bych rád tuto matici vypočítal pomocí A^(-1)=1/detA * Aadjungovaná.GEM používám nerad, protože to jsou zdlouhavé úpravy a dělám v nich zbytečné chyby.

vanok · 04. 04. 2012 20:49 — Editoval vanok (04. 04. 2012 20:50)

↑ jardofpr:
ano aj ta citovane veta nesedi, ale asi mu islo o metodu kofaktorov

$A^{-1}=\frac1{\det A} \, {}^t{{\rm com} A} = \frac1{\det A} \, {}^tC = \frac1{\det A} \, \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & \ddots & & C_{n2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & \cdots & \cdots & C_{nn} \\ \end{pmatrix}$

TAto metoda je skor teoreticka, lebo potrebuje velmi vela vypoctou.
GEM je dost vyhodna ( na rucne pocitanie) , co sa tyka poctu vypoctou.

Tak pokracuj.. a prepac moju intruziu.

jardofpr · 04. 04. 2012 20:54

↑ vanok:

to sa celkom podobá ..

ja nemám nič proti keď sa zapoja ďalší,
lebo nikto nie je neomylný
alebo niekto môže prísť s jednoduchším riešením ;-)

jardofpr

↑ Gero:

tak to musíš vypočítať determinant pôvodnej matice a 16 adjugovaných prvkov

teda ja by som sa skôr pomýlil pri tomto

EDIT:determinant vlastne už máš, takže len tých 16 prvkov inverznej matice

Gero · 04. 04. 2012 21:07

↑ jardofpr:Už jsem si to taky zkusil, napsal jsem si celý první řádek a když jsem došel nakonec k tomu, že bych musel 16x použít Sarrusovo pravidlo, tak jsem to hned u toho prvního řádku zavrhl, protože to bych dělal asi půl hodiny a bylo by to šílené. Tak nakonec to jdu dělat GEMem (co jiného mi zbývá...:/)

jardofpr · 04. 04. 2012 21:20

↑ Gero:

aj mne sa zdá že je to rozumnejšie :)

miesto determinantu a 16x Sarrusovho pravidla je jednoduchšie urobiť 6 dopredných riadkových operácií,
a potom postupne riešiť 4 rovnice

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 19:50

Inverzní matice

#2 04. 04. 2012 20:07

Re: Inverzní matice

Gero napsal(a):

#3 04. 04. 2012 20:10

Re: Inverzní matice

#4 04. 04. 2012 20:14 — Editoval jardofpr (04. 04. 2012 20:17)

Re: Inverzní matice

#5 04. 04. 2012 20:21

Re: Inverzní matice

#6 04. 04. 2012 20:27

Re: Inverzní matice

#7 04. 04. 2012 20:35 — Editoval jardofpr (04. 04. 2012 20:50)

Re: Inverzní matice

Gero napsal(a):

#8 04. 04. 2012 20:48

Re: Inverzní matice

#9 04. 04. 2012 20:49 — Editoval vanok (04. 04. 2012 20:50)

Re: Inverzní matice

#10 04. 04. 2012 20:54

Re: Inverzní matice

#11 04. 04. 2012 20:58 — Editoval jardofpr (04. 04. 2012 21:01)

Re: Inverzní matice

#12 04. 04. 2012 21:07

Re: Inverzní matice

#13 04. 04. 2012 21:20

Re: Inverzní matice

Zápatí