Matematické Fórum

peidep · 05. 04. 2012 09:16

Dobre rano, prosim o radu s timto prikladem. Zapište vzorcem pro n-tý člen geometrickou posloupnost, ve které platí a4 – a3 = 4 \ll a2 = 2/3 . Určete kolik členů je třeba sečíst, aby součet byl větší než 600.
Dekuju za pripadnou pomoc.

Hanis · 05. 04. 2012 09:34

Ahoj.
Vyjádříme všechny členy, které známe pomocí druhého členu a kvocientu:

$a_2q^2-a_2q=4$
$a_2=\frac23$

Dosadíme:

$\frac23 q^2-\frac23q=4$

A vyřešíš kvadratickou rovnici....

zdenek1 · 05. 04. 2012 09:34

↑ peidep:
$\begin{cases}a_4-a_3=4\\a_2=\frac23\end{cases}$
V geometrické posloupnosti platí:
$a_r=a_s\cdot q^{r-s}$ , takže
$a_4=a_2q^2$ a $a_3=a_2q$
dosadíš do první rovnice
$\frac23q^2-\frac23q=4$ z čehož dostaneš kvadratickou rovnici
$q^2-q-6=0$

Tato rovnice má dvě řešení, ale dál budu pokračovat jen s jedním, to druhé si spočítej sám.
$q=3$
Nyní z rovnice $a_2=a_1q$ vypočítáme $a_1=\frac29$
Pro součet platí
$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$
Podle zadání má být
$600<\frac29\frac{3^n-1}{3-1}$
$5401<3^n$
$\log5401<n\log3$
$n>\frac{\log5401}{\log3}$

pro druhé $q$ postupuješ stejně