Matematické Fórum

hans66 · 05. 04. 2012 18:43

Zdravím mám problém s výpočtem tohoto integrál http://www2.wolframalpha.com/input/?i=i … 2x%29-1%29

zkousel jsem davat substituci za e^x a potom vzray vzdelim ay integruju ale nevychazi mi to.. mohl by mi nedko poradit?

Tychi · 05. 04. 2012 19:14

Ahoj, tlačítko Show steps se ti tam nelíbí?

jardofpr · 05. 04. 2012 19:28

ahoj ↑ hans66:

$\int \frac{3\mathrm{e}^{3x}+5\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}}{e^{2x}-1}=\left|\begin{array}{c} e^{x}=t \\ e^{x}\mathrm{d}x=dt \end{array}\right|3\int \frac{t^{2}+\frac{5}{3}t+\frac{1}{3}}{t^{2}-1}\mathrm{d}t= \dots = \int \Big(3+\frac{5}{t-1}-\frac{1}{t^{2}-1}\Big)\mathrm{d}t$

hans66 · 05. 04. 2012 20:02

↑ Tychi: No moc ne jelikoz se to trha podle citatele a ja myslel ze by bylo jednodussi udelat substituci a vydelit citatel jmenovatelem

hans66 · 05. 04. 2012 21:21 — Editoval hans66 (05. 04. 2012 21:23)

jardofpr napsal(a):
ahoj ↑ hans66:

$\int \frac{3\mathrm{e}^{3x}+5\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{x}}{e^{2x}-1}=\left|\begin{array}{c} e^{x}=t \\ e^{x}\mathrm{d}x=dt \end{array}\right|3\int \frac{t^{2}+\frac{5}{3}t+\frac{1}{3}}{t^{2}-1}\mathrm{d}t= \dots = \int \Big(3+\frac{5}{t-1}-\frac{1}{t^{2}-1}\Big)\mathrm{d}t$

k posledni operace se dostanu pres parcialni zlomky?... po vydeleni mi vyjde $\int_{}^{} 3+ (5t+4)/(t^{2}-1)$

jardofpr · 05. 04. 2012 21:36

↑ hans66:

aj z toho sa vieš dostať k tomu tvaru, hoci som nedelil pri odvodzovaní tej rovnosti

$\int \Big[ 3+\frac{5t+4}{t^{2}-1}\Big]\mathrm{d}t=\int \Big[3+\frac{5(t+1)-1}{(t+1)(t-1)}\Big]\mathrm{d}t=\int \Big[3+\frac{5}{(t-1)}-\frac{1}{t^{2}-1}\Big]\mathrm{d}t$

Takjo · 05. 04. 2012 22:16

↑ hans66:
Dobrý den,
navážu na váš výpočet: $\int_{}^{}[3+\frac{5t+4}{t^{2}-1}]dt=3\int_{}^{}dt+\frac{5}{2}\int_{}^{}\frac{2t}{t^{2}-1}dt+4\int_{}^{}\frac{dt}{t^{2}-1}=$

integrál $4\int_{}^{}\frac{dt}{t^{2}-1}$ vyřešíme pomocí rozkladu na parciální zlomky: $\frac{1}{t^{2}-1}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-1}$ kde pak vychází: $A=-\frac{1}{2}; B=\frac{1}{2}$
takže dostaneme: $3\int_{}^{}dt+\frac{5}{2}\int_{}^{}\frac{2t}{t^{2}-1}dt-2\int_{}^{}\frac{dt}{t+1}+2\int_{}^{}\frac{dt}{t-1}=3t+\frac{5}{2}ln|t^{2}-1|+2ln|\frac{t-1}{t+1}|+C$

a po zpětném dosazení za substituci dostaneme... to už nechám na vás :)