Matematické Fórum

jarrro · 09. 04. 2012 17:17

Ahoj niekde som čítal,že elipsa je okrem toho, že je to množina bodov zo stálym súčtom vzdialeností od dovch bodov aj množina bodov zo stálym pomerom vzdialenosti od nejakého bodu a od nejakej priamky zaujímalo by ma či je možné ten bod a tú priamku nejako vyjadriť v závislosti od ohnísk a polosy a

Rumburak

Ahoj. Shrňme si to:

Je dáno číslo $\varepsilon > 0$ a v rovině $\rho$ přímka $p$ , bod $F \notin p$ a množina

$M := \{X\in \rho\, \,; \frac{d(X,F)}{d(X,p)} = \varepsilon \}$ ,

kde $d(X,F)$ resp. $d(X,p)$ je vzdálenost bodu $X$ od bodu $F$ resp. od přímky $p$ .

Potom množina $M$ je

- elipsou pro $\varepsilon \in (0, 1)$ ,
- parabolou pro $\varepsilon = 1$ ,
- hyperbolou pro $\varepsilon > 1$ .

Tím bodem $F$ je vždy některé z ohnisek křívky. Tato informace by měla stačit ke zpětnému určení řídicí přímky elipsy, zvolíme-li si ohnisko.
Obdobně u hyperboly. U paraboly je to jednodušší, protože ta má ohnisko pouze jedno.

EDIT. Kružnice nemá řídicí přímku - geometři říkají, že řídicí přímka je nevlastní.

jarrro · 10. 04. 2012 12:06

↑ Rumburak:ďakujem čiže chápem tomu správne, že dobré sú obidve ohniská v štandardnom súčtovom tvare a priamka je v závislosti od toho ktoré ohnisko vezmeme? teda to nie je jednoznačné?

Rumburak

↑ jarrro:

Nevím, co máš na mysli pod pojmem "standardní součtový tvar" , ale pravda je, že k dané elipse, která není kružnicí, existují dvě řídicí přímky-
- podle zvoleného ohniska. Ukažme to na příkladu. Mějme elipsu o rovnici

(1) $\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ , kde $a > b > 0$ .

Excentricita je $e = \sqrt{a^2 - b^2}$ , ohniska jsou $E[-e, 0]$ , $F[e, 0]$ . Řídicí přímka kuželosečky je vždy kolmá k její hlavní ose, takže
pro elipsu (1) bude mít její řídicí přímka $p$ rovnici $x = w$ . Pro ohnisko $F[e, 0]$ a hlavní vrcholy $A[a, 0]$ , $C[-a, 0]$ dostáváme

$\varepsilon = \frac{d(A,F)}{d(A,p)} = \frac{a-e}{w-a}$ ,
$\varepsilon = \frac{d(C,F)}{d(C,p)} = \frac{e+a}{w+a}$ ,

což k daným hodnotám $a, e$ dává soustavu o dvou neznámých $\varepsilon, w$ . Vyšlo mi $w =\frac{a^2}{e}$ . (K ohnisku $E[-e, 0]$ bychom dostali $w =-\frac{a^2}{e}$ .)

Dále dostáváme

$\varepsilon = \frac{d(C,F)}{d(C,p)} = \frac{e+a}{w+a} = \frac{e+a}{\frac{a^2}{e}+a} = \frac{e(e+a)}{a(a + e)} = \frac {e}{a}$ ,

vedlejší vrchol $D[0,b]$ splňuje

$\frac{d(D,F)}{d(D,p)} = \frac{a}{w} = \frac{a}{\frac{a^2}{e}} = \frac {e}{a} = \varepsilon$ .