Matematické Fórum

Lhářka · 11. 04. 2012 20:09

Dobrý večer, nemohu tu hnout s tímto příkladem: Kolik různých pěticiferných přirozených čísel s různými ciframi lze sestavit z cifer 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9?

Zajímaly by mě tyto podotázky: Kolik z nich je dělitelných 4? Kolik z nich je sudých?

Děkuji za pomoc.

wolfito · 11. 04. 2012 20:20

Omlouvam se je to 1560 a za chvili napíší postup.

mal84 · 11. 04. 2012 20:21

↑ Lhářka:
Zdravím.
Lze vypočítat pomocí kombinatorického pravidla součinu.
Kolik máme možností zvolit číslic na místo desetitisíců? 6 možností (2,4,6,7,8,9) - 0 nesmí být, jinak by to nebylo 5-cif. číslo.
Kolik číslic na místo tisíců? opět 6 možností (0 + zbývajících 5 číslic).
Na místo stovek už máme jenom 5 možností, na místo desítek 4 možné číslice a na jednotky 3 číslice. Suma sumárum - celkový počet možností bude $6\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$ $=2160$ .

mal84 · 11. 04. 2012 20:32

↑ Lhářka:

Tady si musíš uvědomit, kdy je číslo dělitelné 4??
Vypiš si všechny možné poslední dvojice, pro které je dané 5-cif. číslo děl. 4.
Poté spočítej počet všech čísel, které lze z daných číslic vytvořit za předpokladu, že např. poslední dvojicí je 04. Poté tento počet vynásob počtem všech možných posledních dvojic obsahujících 0.
To samé udělej pro případ, kdy poslední dvojicí je dvojice číslic neobsahující 0.

Výsledek by měl být 888.

Lhářka · 11. 04. 2012 20:35

↑ mal84:

Výsledek má být 840.

mal84 · 11. 04. 2012 20:38

Podobně pro čísla sudá.
Vypiš si číslice, které musí být na konci, aby bylo číslo sudé...
Pak pro každou variantu spočítej počet všech možných číslic.

Např. kdyby na konci byla 2, pak na místo desetitisíců mám 5 možností jak dosadit číslici (4,6,7,8,9), na místo tisíců zase 5 možností (0+ některé ze zbylých 4 číslic), na místo stovek 4 číslice, desítek 3 číslice $\Rightarrow$ celkem $5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300\ \text{možností}$

mal84 · 11. 04. 2012 20:39

300 možností (pro případ, kdy číslo končí 2)

zdenek1 · 11. 04. 2012 20:39

↑ Lhářka:
Kolik je jich dělitelných 4mi?
Pokud je číslo dělitelné 4mi, je dělitelné 4mi poslední dvojčíslí
Z cifer, které máme lze sestavit následující vhodná dvojčíslí

a) 04, 08, 20, 40, 60, 80

b) 24, 28, 48,64,68,72, 76, 84,92,96

ve variantě a) mi zůstaly 3 volné pozice na něž můžu vybrat z pěti cifer -> $5\cdot4\cdot3$
a ještě krát počet dvojčíslí tj. 6.
a) $6\cdot5\cdot4\cdot3$

ve variantě b) nesmí být naprvní pozici nula -> $4\cdot4\cdot3$ krát počet dvojčíslí
b) $10\cdot4\cdot4\cdot3$

sečteš a) + b)

mal84 · 11. 04. 2012 20:41

Ano omlouvám se, započítal jsem jednu možnost navíc, vychází to opravdu 840.

Carolina · 11. 04. 2012 20:42

Takže zacneme otazkou kolik jich je sudych, pokud to chces řesit jako variace, doporucuju si to "nakreslit".
mame 7 cislis, to jsou prvky tudiž n = 7, a má byt peti ciferne, tudiž mame pet "mist", k = 5.

na papir si udelej pet mist kam mužeme umistovat cisla, tudiž : _ _ _ _ _
my potřebuje aby ty nase cila byla suda, tudiž posledni cisli musi byt suda _ _ _ _ S
už nam tedy zbyla jen 4 mista, a už jen 6 cisel, protože jsme jedno sude cislo "použili" tzn nase S
chapeme zatim?

dale: musime zjistit kolik tech S vubec je, tzn sudy cisla jsou 2,4,6,8 což jsou 4 suda cisla (nulu dopocitame potom)

tudiž to co nam vyslo vynadobime 4 abychom zjistili pocet sudych cisel ktera budou koncit na 2,4,6 nebo 8

dale: musime osetrit aby prvni cislo nebylo 0, protože by to už nebylo 5ti, ale 4 miste cislo, tudiž vypocitame kolik takovych cisel zacina nulou a ty od naseho vysledku odecteme ...

tzn na obarzku: 0 _ _ _ S

tzn, mame k = 3, n = 5 a zase to vynasobime 4mi aby sme tam zahrnuli všechny sudy cislice, ktere muzoiu byt na konci

a posledni krok, vypocitame kolik cisel konci nulou, protože to je taky sude cislo, a nemusi zde již opatrovat aby nebyla nula vepředu, protože ji dame na posledni misto:

"obrazek" : _ _ _ _ 0

tzn: k = 4 (4 mista) a n = 6 ( ze 7mi cisel sme použili jen 0)

tyto dva vysledky sečtes a to je vysledek :) zkus to a kdyžtak napis :)

wolfito · 11. 04. 2012 20:44

sudé - počitam to na dvě části.
X X X X 0 - tohle je pěticiferny číslo. Nejprv si spočítaš kolik možností je aby když je nula na konci jako poslední číslo, protože na začatku nemuže byt tak na první cifru se hodí jen $6$ čísel a ty jsou: 2, 4, 6, 7, 8, 9.
Logicky na další cifru uz můžeš jen $5$ , na další už jenom $4$ čísla a na další $3$

6 5 4 3 1 - tohle jsou počet možnych čísel na jednu cifru Tak je vynásobíš $6*5*4*3*1=360$
X X X X X
2 4 6 7 0 - tohle jsou čísla na příklad toho pěticifernyho čísla s nulou na konci

Tak nulu bysme měli. Ted už nam zbývají sudé čísla a ty jsou 2, 4, 6, 8 , které mužeme dat na konec. Nula na začatku nemuže byt tak musíme dat jen 5 čísel na začatek. Na druhé cifře z leva muže byt zase 5 protože už tam mužeme dat 0. A zase klasicky potom 4 a 3

5 5 4 3 4 - $5*5*4*3*4=1200$ když sečteš $1200+360= 1560$
X X X X X

Tohle je takovej muj postup.