Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 14. 04. 2012 16:28

Zdravim, chtel bych se zeptat, jak overim trojuhelnikovou nerovnost u nasledujicich metrik:

$\varrho (x,y)=\sqrt{|x-y|}$

a

$\varrho (x,y)=\frac{{|x-y|}}{1+|x-y|}$

dekuji :)

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Ahoj,

v obou případech se použije trojúhelníková nerovnost pro abs. hodnotu, tj. $\forall x,y,z \in \mathbb{R}: |x-z|\leq |x-y|+|y-z|$ .

2) Zkus využít toho, že funkce $f(t)=\frac{t}{1+t}$ je rostoucí na $[0,\infty)$ .

1) Zkus využít toho, že funkce $g(t)=\sqrt{t}$ je rostoucí na $[0,\infty)$ . Zkus dokázat nerovnost $\forall a,b \in \mathbb{R}^{+}_{0}:\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Sam_Hawkins

takze u 2) muzu trojuhelnikovou nerovnost dokazat takto?

I) pro funkci $f(t)=\frac{t}{1+t} (t\in \mathbb{R}^{+}_{0})$
plati:
$f(x+y)\le f(x)+f(y)$
tedy:
$\frac{x+y}{1+(x+y)}\le \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}$
(upravou vyrazu dojdu k overeni)

II) tedy pro $\varrho (x,y)+\varrho (y,z)=f(|x-y|)+f(|y-z|)\ge$
$\ge f(|x-y|+|y-z|)\ge f(|x-y+y-z|)=$
$=f(|x-z|)=\varrho (x,z)$

je to korektni?

a u 1) analogicky, jen dokazuju nerovnost $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ pro $f(t)=\sqrt{t}, (t\in \mathbb{R}^{+}_{0})$

je tak?:)

OiBobik · 14. 04. 2012 19:44

↑ Sam_Hawkins:

Ano. Jen je třeba ty proklamované nerovnosti dokázat (ověřit).

Sam_Hawkins · 14. 04. 2012 20:25

no ta prvni mi po pronasobeni (asi to jde i rychleji) vysla
$0\le 2xy+x^{2}y$
coz vzhledem k tomu ze x,y jsou nezaporna je pravda

a to druhe staci jen umocnit a je to hned videt ne?

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Pakliže "to druhé" je to první, pak ano, to stačí jen umocnit a uvědomovat si, že na nezáporných číslech to zachovává nerovnosti (právě proto, že odmocnina je rostoucí).

Ta první (resp druhá : )) ) nerovnost lze nahlédnout ještě o dost snadněji:

$\frac{x+y}{1+(x+y)} = \frac{x}{1+(x+y)}+\frac{y}{1+(x+y)}\leq \frac{x}{1+(x)}+\frac{y}{1+(y)}$

(čitatel je nezáporný a jmenovatel kladný, takže pokud jej zmenším, zvětšil jsem hodnotu zlomku. x, resp. y, jsou nezáporná čísla, tedy čitatele obou zlomků jsem skutečně zmenšil.)

Ale určitě to jde i nějak tak, jak to tvrdíš ty. Jen je třeba dávat pozor, že všechny použité úpravy jsou skutečně ekvivalentní.

Sam_Hawkins · 15. 04. 2012 10:24

skvele, diky moc za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2012 16:28

Metriky

#2 14. 04. 2012 16:45 — Editoval OiBobik (14. 04. 2012 16:53)

Re: Metriky

#3 14. 04. 2012 17:11 — Editoval Sam_Hawkins (14. 04. 2012 17:14)

Re: Metriky

#4 14. 04. 2012 19:44

Re: Metriky

#5 14. 04. 2012 20:25

Re: Metriky

#6 14. 04. 2012 21:47 — Editoval OiBobik (14. 04. 2012 21:51)

Re: Metriky

#7 15. 04. 2012 10:24

Re: Metriky

Zápatí