Matematické Fórum

Kopecka · 15. 04. 2012 14:35

Dobrý den, chtěla bych se zeptat na následující obrázek

máme to ověřit bez kalkulačky, já jsem to udělala s kalkulačkou a vychází to, jen teď ale nevím jak říct tu podmínku. Napadlo mě, že čím větší desetinné zlomky mezi sebou vynásobím, tím menší výsledek bude.

BakyX · 15. 04. 2012 16:38

Dobrý deň.

Odkiaľ je tá úloha ? Nie je úplne tradičná ani jednoduchá.

Ďakujem za odpoveď.

Kopecka · 15. 04. 2012 17:51

To mi poslal jeden kamarád, jestli si s tím nevím rady.

BakyX · 15. 04. 2012 21:11

↑ Kopecka:

Nie je to úloha z nejakého korešpondenčného seminára - aktuálne zadanie ?

Kopecka · 16. 04. 2012 00:08

O ničem takovém nevím

BakyX · 16. 04. 2012 00:53

Skúsim veriť a posielam riešenie:

Pre každé prirodzené číslo $k$ platí:

$\frac{k}{k+1} < \frac{k+1}{k+2}$ ,

pretože je to ekvivalentné s $1>0$ . Pomocou toho odhadneme:

$\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100} < \frac{2}{3} . \frac{4}{5} ... \frac{98}{99} . \frac{100}{101}$

Teraz celú nerovnosť násobíme výrazom na ľavej strane. Dostaneme:

$(\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100})^2 < \frac{1}{101} < \frac{1}{100}$ .

Po odmocnení máme:

$\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$

Kopecka · 16. 04. 2012 19:17

Promiňte nějak nechápu, hlavně proč tam dáváte mocninu a pak to odmocňujete a jakto, že je 1/100 (zlomek)

Siroga · 16. 04. 2012 20:20

↑ Kopecka:
mocnina se dava proto ze se cela nerovnice $\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100} < \frac{2}{3} . \frac{4}{5} ... \frac{98}{99} . \frac{100}{101}$ vynasobi levou stranou $\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100}$ tim na leve strane dostaneme $(\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{97}{98} . \frac{99}{100})^2$ a na prave $\frac{1}{101}$