Matematické Fórum

Maths · 15. 04. 2012 16:07

Dobrý den, chtěla bych poradit s tímto příkladem. Pořád se v něm zamotávám a nemůžu se dopočítat k výsledku.

na přímce q : x=4+k, y=2, z= 1-k určete bod M, tak aby jeho vzdálenost od přímky p : x=3-2t, y=t, z=1, byla 4

Magicmaster

Nevím, jestli je tohle optimální způsob, ale zdá se mi správný. Pro zjištění vzdálenosti přímek v prostoru využívám kolmé roviny a jejich průsečíky. Tak tedy:

Najdeme rovinu $\rho$ , která je kolmá na přímku q a vede hledaným bodem M. Její normálový vektor je tedy směrový vektor přímky q: $\rho:x-z+d=0$ . Jelikož nevím, kde přesně tuto rovinu vést, d zatím nevím.

Teď si najdu průsečíky této roviny s přímkami p i q:
$\rho\cap p: (3-2t)-1+d=0 (...) t=1+\frac{d}{2}\\ \rho\cap q:4+k-1+k+d=0(...)k=-\frac{d+3}{2}$

Teď vyjádřím body P a Q - průsečíky přímek s rovinou ró:
$P[3-2(1+\frac{d}{2}); 1+\frac{d}{2};1]\\ Q[4-\frac{d+3}{2};2;1+\frac{d+3}{2}]$

A teď řeším rovnici, aby vzdálenost P a Q byla 4. Vyjde nějaké d a pomocí něj vypočtu bod Q, což je vlastně hledaný bod M.

Maths · 15. 04. 2012 17:07

↑ Magicmaster:
Opsala jsem blbě zadání,... u přímky q je z= 2+k,... takže rovnice roviny bude x+z+d=0? :)

Magicmaster · 15. 04. 2012 17:09

Nepočítal jsem to pro konkrétní hodnoty, ale mělo by to vyjít. Musíš si ale uvědomit, že pokud je to 2+k místo 1-k, pak i normálový vektor roviny je (1;0;1) místo (1;0;-1) a opravit vlastně všechny rovnice pod tím :)

Maths · 15. 04. 2012 17:40

↑ Magicmaster:↑ Magicmaster:
jj, to jsem udělala... ale právě se vůbec nemůžu dopočítat k výsledku.. tak už fakt nevím :-/

Magicmaster · 15. 04. 2012 22:05

Mně vyšlo, že: $t=2+\frac{d}{2}\\ k=-\frac{d+6}{2}$ . Odtud $P[3-2(2+\frac{d}{2}); 2+\frac{d}{2}; 1]\\ Q[4-\frac{d+6}{2}; 2; 2+\frac{d+6}{2}]$ .
Tohle dosadíme do rovnice: $\sqrt{(P_1-Q_1)^2+(P_2-Q_2)^2+(P_3-Q_3)^2}=4$ (Velikost vektoru) - viz W|A. Mělo by to vyjít $d_1=\frac{4}{3}(\sqrt{6}-3)\\ d_2=-\frac{4}{3}(\sqrt{6}+3)$

Maths · 16. 04. 2012 19:30

↑ Magicmaster:
pořád to nesedí s výsledky :-/

Maths · 16. 04. 2012 19:49

Tak jo... už mi to vyšlo.... řešila jsem to svým postupem jako předtím, než jsem vložila dotaz a měla jsem tam pouze numerické zuby..... přikládám řešení

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 16:07

vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#2 15. 04. 2012 16:26 — Editoval Magicmaster (15. 04. 2012 16:36)

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#3 15. 04. 2012 17:07

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#4 15. 04. 2012 17:09

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#5 15. 04. 2012 17:40

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#6 15. 04. 2012 22:05

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#7 16. 04. 2012 19:30

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

#8 16. 04. 2012 19:49

Re: vzdálenost bodu od přímky v prostoru

Zápatí