Matematické Fórum

Alfanik

Dobrý večer přeji,

dostal jsem ukol: Z kruhového polotovaru o poloměru r, kde r = 65 máme vystřihnout rovnoramenný trojúhelník maximálního obsahu. Určete strany, výšku a obsah tohoto trojúhelníka.

Tak jsem si vypočítal obsah kruhu, ale pote jak jsem přemýšlel tak jsem na nic nemohl přijit. Mohl by mi nekdo poradit jak mam dale postupovat???

Děkuji

Bati · 15. 04. 2012 21:49

Dobrý večer,
tyto úlohy se řeší nalezením extrémů příslušné funkce - v tomto případě tato funkce bude vzorec pro vypočítání obsahu trojúhelníka. Jediný problém je to, že hodnoty té funkce závisí na dvou proměnných (nejspíše výška a základna), takže je třeba si nakreslit obrázek a jednu z těchto vzdáleností vyjádřit pomocí druhé a dosadit zpátky. Tím vyjde obyčejná funkce jedné proměnné, kterou je možno derivovat a tím nalézt její extrémy.

Takjo · 16. 04. 2012 16:27

↑ Alfanik:
Dobrý den,
nejprve rozbor situace (viz. obrázek):

Vyjdeme z věty o středových a obvodových úhlech, příslušejících danému oblouku kružnice:
- $x$ je polovina obvodového úhlu $x\in (0; \frac{\pi }{2})$
- $2x$ je polovina středového úhlu
- $a$ je polovina délky základny hledaného trojúhelníku
- $b$ je polovina délky ramena hledaného trojúhelníku
- $v$ je výška na základnu hledaného trojúhelníku
- $r$ je poloměr kružnice

Vzorce:
$b=r\cdot cos x$
$a=r\cdot sin2 x$
$v=2b\cdot cos x=2r\cdot cos^{2}x$
Plocha trojúhelníku: $S=a\cdot v=r\cdot sin2x\cdot 2r\cdot cos^{2}x=2r^{2}\cdot sin2x\cdot cos^{2}x$

Tuto funkci zderivujeme a nalezneme její maximum (proměnná je x, r je konstanta):
$S'=2r^{2}cos2x\cdot 2\cdot cos^{2}x+2r^{2}sin2x\cdot 2cosx\cdot (-sinx)$

Výsledek je docela zajímavý, ale určitě ne překvapivý... :)

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2012 21:33 — Editoval Alfanik (15. 04. 2012 21:44)

Rovnoramenný trojuhelník v kruhu

#2 15. 04. 2012 21:49

Re: Rovnoramenný trojuhelník v kruhu

#3 16. 04. 2012 16:27

Re: Rovnoramenný trojuhelník v kruhu

Zápatí