Matematické Fórum

chef06 · 16. 04. 2012 19:52

Ahoj, mám příklad se zadáním: Lineární forma w: $R^{3}$ ->R je dána maticí w=(-1, 5, -1) v bázi e=(2, 2, 0; 2, 1, 1; 0, 1, 2;). Najděte matici w´ formy w v bázi e´=(2, 8, 8; 2, 8, 5; 6, 6, 0;). Mohl by mě to prosím někdo rozepsat i s drobným komentářem jak na to? Díky moc.

P.S.: matice = (řadek; řádek2; řádek 3;)

Andrejka3

Ahoj.
Máme bazi $\mathbb{R}^3$ , $\mathfrak{e}=(e_1,e_2,e_3)$ . Označme $\mathfrak{\varepsilon}=(\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3)$ bazi k ní duální, tedy takovou, že
$\varepsilon^i(e_j)= \delta^i_j$ , kde $\delta^i_j$ je Kroneckerovo delta. Máme tedy formu
$w=w_1 \varepsilon^1+w_2 \varepsilon^2+ w_3 \varepsilon^3$ , kde $(w_1,w_2,w_3)=(-1,5,-1)$
Druhá baze prostoru $\mathbb{R}^3$ je (preznacim) $\mathfrak{f}=(f_1,f_2,f_3)$ .
Bazi k ní duální označím $\mathfrak{\varphi}$ . Zavedeme matici přechodu mezi bazemi $\mathfrak{e}$ a $\mathfrak{f}$ předpisem $f_i=e_j E^j_i$ .
Je
$(E^{-1})^i_j \varepsilon^j(f_k)=(E^{-1})^i_j \varepsilon^j(e_l E^l_k)=(E^{-1})^i_j E^l_k \delta^j_l=(E^{-1})^i_jE^j_k= \delta^i_k$ , proto
$\varphi^i=(E^{-1})^i_j \varepsilon^j$ , tedy se (!edit: správně má být místo slov kurzívou 'vektory duální baze') souřadnice formy transformují stejně jako souřadnice vektoru a opačně než vektory baze.

$w=w_i \varepsilon^i =w_i E^i_j \varphi^j=w'_j \varphi^j$ , odkud $w'_j=w_i E^i_j$ ,
kde $w'_j$ jsou souřadnice formy $w$ vzhledem k dualni bazi $\mathfrak{\varphi}$ . Vidíme tedy, že se souřadnice formy transformují opačně než souřadnice vektorů a stejně jako bazové vektory.

Teď už jen spočítat matici přechodu a použít závěr odvození.

Edit: Pokud jste si zavedli matici přechodu opačně, nevadí, pořád platí, že se bazové vektory transformují stejně jako souřadnice formy.
edit: chtela jsem psat tucne prvky $\mathbb{R}^3$ a prvky jeho dualu, ale nevim jak na recka tucna pismena.
další edit: až teď jsem si všimla, že jsem slovně napsala něco jiného než jsem chtěla (kurzíva)

chef06 · 17. 04. 2012 07:56

↑ Andrejka3:
Aha. Děkuji za odvození. Ale tohle je na mě moc těžké a nepochopitelné. Byla by si tak hodná a ukázala mě, jak prakticky spočítat tento příklad? Moc díky.

Andrejka3

↑ chef06:
Dobře.
Všude využívám Einstein sumační konvenci - přes indexy, které jsou křížem sčítám od jedné do tří v tomto případě. Řádkový index matice mám nahoře a sloupcový dole. Pak,
Má definice matice přechodu: $f_i=e_j E^j_i$ lze slovně vyjádřit: i-tý sloupec matice přechodu je tvořen souřadnicemi i-tého vektoru báze $\mathfrak{f}$ rozloženého v bazi $\mathfrak{e}$ , tedy například je
$f_1= e_1 (E)^1_1 +e_2 (E)^2_1 +e_3 (E)^3_1$ . Složky matice chci dopočítat - to můžu, když dosadím za vektory bazí jejich vyjádření v kanonické bazi (vše nyní vyjadřuji složkově vůči kanonické bazi), dostanu rovnici pro souřadnice matice přechodu (vzhl. ke kan. b.):
$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 8 \\ 8 \end{array} \right) = (E)^1_1 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)+(E)^2_1 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)+(E)^3_1 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right)$ Upravíme na soustavu s pravou stranou:
$\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \end{array} \right)$ .
Protože to budeme počítat třikrát, můžeme si ušetřit práci a psát všechny tři soustavy najednou:
$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 2 & 2 & 0 & 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 1 & 8 & 8 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 8 & 5 & 0 \end{array} \right)$ .
Gauss eliminační metodou upravuješ obě strany zároveň, stejně. Pokud dostaneš vlevo jednotkovou matici, pak vpravo máš právě tu hledanou matici přechodu, $E$ .
Když si to rozmyslíš, je to totéž co spočítat:
$E=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 6 \\ 8 & 8 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{array} \right)$ .
Pak souřadnice formy přenásobíš zprava touto maticí a je to hotové.

chef06 · 17. 04. 2012 17:44

↑ Andrejka3:
Moc děkuji za ukázaný postup.
Tak teď jsem asi už hloupej já. Při výpočtu vlevo jednotkové matice mě vyšla vpravo matice (7/3, 10/3, 3; -4/3, -7/3 0; 14/3, 11/3, 0). Což se mě moc nezdá, ale počítal jsem to 4x už. Pokud vynásobím (-1, 5, -1) * tato matice, dostanu matici (-13.6667 -18.6667 -3.0000). Správný výsledek má být (9 6 9). Fakt neumím jen počítat nebo je tam chyba ještě někde jinde?

Díky

Andrejka3

Samozřejmě se můžu plést. Podívám se na to.
Vyšlo mi
$E=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 7 & 10 & 9 \\ -4 & -7 & 0 \\ 14 & 11 & 0 \end{array} \right)$ .
$\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -1 & 5 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 7 & 10 & 9 \\ -4 & -7 & 0 \\ 14 & 11 & 0 \end{array} \right)=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -41 & -56 & -9 \end{array} \right)$ . To je škaredé. Akorát chybu jsem zatím nenašla.

Andrejka3 · 17. 04. 2012 20:39

↑ Andrejka3:
Ještě jednou jsem si prošla odvození, ale myslím, že to je správně. Prosím, kdyby někdo z kolegů našel chybu, ať se ozve. Díky, A.

chef06 · 17. 04. 2012 21:04

↑ Andrejka3:
Tak děkuji za pomoc. Já netvrdím, že ten výsledek, co mám v těch skriptech je zcela správně. Ale je "pěkný":-) Ještě jednou díky a zkusím hledat chybu sám:-)

jelena · 20. 04. 2012 09:23

Zdravím,

snad ještě se podívat do "originálu zadání" (159, úloha 7), zdá se, že se podařilo zaměnit sloupce a řádky u části úlohy - je tak?

chef06 · 20. 04. 2012 09:47 — Editoval chef06 (20. 04. 2012 09:47)

↑ jelena:
Jéé, tady je někdo hodně ochotný a pozorný. Moc děkuji. I po přepočítání mě vyjde na pravé straně (-1 3 2; 2 -2 2; 2 4 -1) a po vynásobení vektorem (-1 5 -1) se dostanu k výsledku (9 -17 9). Tak ještě někde bude drobná chyba. Buď u mě, nebo ve výsledku.

Andrejka3

↑ chef06:
Ahoj,
zkus to znova. Mě to vychází. V každém kroku můžeš provést kontrolu. Kontrolu, zda jsi skutečně dostal správnou matici přechodu.
Moje je:
$E=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{array} \right)$ .
edit: Díky, jeleno!

chef06 · 20. 04. 2012 11:07

↑ Andrejka3:
Tak teď už je to v nejlepším pořádku. Upsal jsem se. Ale to jsem celý já. Díky za pomoc:-)

jelena · 21. 04. 2012 10:26

↑ chef06:, ↑ Andrejka3:

není za co, děkuji kolegyňce Andrejce3 za pečlivost a ochotu vysvětlovat a kontrolovat. Označím za vyřešené, zbytek témat označ, prosím, sám ↑ chef06:. Děkuji, zdravím.

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2012 19:52

Lineární forma

#2 16. 04. 2012 23:25 — Editoval Andrejka3 (17. 04. 2012 23:00)

Re: Lineární forma

#3 17. 04. 2012 07:56

Re: Lineární forma

#4 17. 04. 2012 15:05 — Editoval Andrejka3 (17. 04. 2012 15:35)

Re: Lineární forma

#5 17. 04. 2012 17:44

Re: Lineární forma

#6 17. 04. 2012 19:54 — Editoval Andrejka3 (17. 04. 2012 20:33)

Re: Lineární forma

#7 17. 04. 2012 20:39

Re: Lineární forma

#8 17. 04. 2012 21:04

Re: Lineární forma

#9 20. 04. 2012 09:23

Re: Lineární forma

#10 20. 04. 2012 09:47 — Editoval chef06 (20. 04. 2012 09:47)

Re: Lineární forma

#11 20. 04. 2012 10:36 — Editoval Andrejka3 (20. 04. 2012 10:37)

Re: Lineární forma

#12 20. 04. 2012 11:07

Re: Lineární forma

#13 21. 04. 2012 10:26

Re: Lineární forma

Zápatí