Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 31. 10. 2008 09:56
Přelévání vody (jak na to?)
Narazil jsem na pár zajímavých úloh o přelévání tekutin a nějak nemohu na některé řešení přijít. Může mi někdo poradit? Díky
Tři unavení pocestní si skočí do hospody na pivo, spláchnout prach po dlouhé cestě. Klasické sklenice bohužel došly a hospodský jim nabídne pouze plný džbán piva o obsahu 9 dl a tři (prázdné) další sklenice o obsahu 5, 4 a 2 dl. Jaký je nejmenší počet přelití potřebných k tomu, aby se všichni tři podělili o džbánek stejným dílem (tzn. aby odměřili do tří z poskytnutých nádob po 3 dl)? ... Zajímá mě nejmenší počet přelití ;o)
Offline
- (téma jako nevyřešené označil(a) jelena)
#2 31. 10. 2008 10:01
Re: Přelévání vody (jak na to?)
Tentokrát jsou pocestní jen dva, ale mají větší žízeň. Situace s nedostatkem skla se opakuje a dostanou k dispozici plny 8 dl džbán a dvě sklenice 5 dl a 3dl. Na jaky nejmenší počet přelití se spravedlivě podělí (tzn. aby po posledním přelití byly ve dvou z poskytnutých nádob po 4 dl)?
Offline
#3 31. 10. 2008 10:09 — Editoval seiza (31. 10. 2008 10:11)
Re: Přelévání vody (jak na to?)
V této úloze máte tři nádoby o objemech 3, 7 a 20 litru. Ta dvacetilitrová je plná vody. Přeléváním mezi jednotlivými nádobami odměřte v největší nádobě přesně 15 litru vody bez toho, aniž by jste při přelívání vylili vodu ven z nádob (tedy mimo nádoby). Najděte postup při kterém bude počet přelévání nejmenší.
Offline
#5 31. 10. 2008 10:18 — Editoval seiza (31. 10. 2008 10:30)
Re: Přelévání vody (jak na to?)
Na poslední úlohu bude zapotřebí přidat pro názornost i obrázek. Máte tedy k dispozici 20ti litrový sud, 17ti litrový kbelík a 12ti litrovou nádobu ve tvaru rotačního válce!!!. Soudek je plný a zbylé nádoby jsou prázdné. Nejmenším možným počtem přelití získejte v dvou nádobách 7 litru a v jedné 6. (Ještě musím podotknout, ze ten 20 litrový sud není úplně dokonalý. Je trošku na jednu stranu "vydutý" a lze říci, že ho asi dělal nějaký "amatér". Zkrátka Vám to řeknu asi takhle: "Zcela jistě není souměrný podle středové osy". A ten kbelík jakbysmet.Na kolik nejmenších přelití se to podaří?
Offline
#6 31. 10. 2008 23:00
- jelena
- Jelena
- Místo: Opava
- Příspěvky: 30020
- Škola: MITHT (abs. 1986)
- Pozice: plním požadavky ostatních
- Reputace: 100
Re: Přelévání vody (jak na to?)
↑ seiza:
Zdravím :-)
Věřím, že někdo z kolegů "algoritmizatorů" doplní můj náznak řešení a vhodný odkaz, moje zásoby ruských odkazů asi nikoho nenadchnou :-) třeba: http://rsa.iso.karelia.ru/matem/method/pereliv.doc
http://window.edu.ru/window_catalog/fil … cme029.pdf
Za svoje sčítání a odečítání ovšem neručím :-)
1. úloha - z 9 dl přelijeme do 4 a 2 dl, v nádobě na 9 l už máme 3 litry. Z nádoby 4 litry přelijeme do 5-litrové. Z nadoby 2 litry doplníme 1 litr do 5-litrove a zbývající 1 litr přelijeme do 4-litrové. Z 5-litrové přelijeme 2 litry do dvoulitrové, odsud následně doplníme do 1 litru v 4litrové.
2. a 4. úloha - naznačím pro delení 8 litrů v úloze 2
doporučuje se nakreslit sí? http://forum.matweb.cz/upload/236-litry.JPG a vyznačít si bod, ke kterému je potřeba dostat (v 5-litrové nádobě má být 4 litry a v 3-litrové nádobě má být 0 litrů. Tak se zajistí, že ve velké nádobě zůstalo 4 litry). Nejdřív se postavíme do bodu (0, 0) a procházíme jednotlivé strany tak, že při nárazu na stranu se odrazíme dle pravidla "úhel odrazu = úhel dopadu"
Počet kroku znamená počet nárazů na stranu. Musí se ověřít, zda je kratší cesta při prvním kroku směrem k 3-litrové nádobě nebo naopak.
Uloha 3 - nádoby 20, 7, 3, začneme přelévat z největší do nejmenší a vrácet do prostřední. Až je prostřední plná, přelíjeme vše do největší a opět opakujeme (pokud jsem dobře počítala, výsledek by se měl dostavit po 2. cyklu.
Mám za to, že hotové algoritmy někde leží a čekají :-)
Offline
#8 08. 11. 2012 00:12
- jelena
- Jelena
- Místo: Opava
- Příspěvky: 30020
- Škola: MITHT (abs. 1986)
- Pozice: plním požadavky ostatních
- Reputace: 100
Re: Přelévání vody (jak na to?)
Zdravím váženého Moderátora sekce a další kolegy.
Přes PM a mail mi došla prosba upřesnit řešení úloh, ale už bych se tomu nevěnovala - necvičila jsem dlouho, tak to přesouvám do sekce. V materiálech pana Petra Kováře jsem totiž viděla názorné vysvětlení včetně "trojúhelníkové mřížky" (obdobné v tématu), bohužel, teď si nevzpomenu vhodné klíčové slovo.
Děkuji za pomoc a odkazy.
↑ Cheop:
snad to rozeberete s kolegy :-)
Offline
#9 08. 11. 2012 09:04
Re: Přelévání vody (jak na to?)
K řešení úlohy pomocí teorie grafů lze využít stavový graf. Pěkně zpracovaný příklad je zde od strany 13.
Nalezení nejmenšího počtu přelití pak odpovídá nalezení nejkratší cesty ve stavovém grafu z výchozího stavu do koncového stavu. Sestavení stavového grafu může pro obecnou úlohu býti komplikované.
↑ jelena:
Pro nalezení řešení a nebo relativně snadnému důkazu, že žádné řešení neexistuje, lze použít diagram vyházející z celočíselných barycentrických souřadnic. Odkaz a Odkaz.
Offline
#10 08. 11. 2012 10:02
- jelena
- Jelena
- Místo: Opava
- Příspěvky: 30020
- Škola: MITHT (abs. 1986)
- Pozice: plním požadavky ostatních
- Reputace: 100
Re: Přelévání vody (jak na to?)
↑ petrkovar:
Děkuji velice, kolegovi s dotazem jsem poslala upozornění na materiály, ať pokračuje v tématu. U Vás, pokud si vzpomínám, bylo zpracováno do takové popularizační přednášky (ne přímo výukový materiál).
Offline