Matematické Fórum

Michaell0071 · 21. 04. 2012 13:16

Zdravím všechny, mohl bych ještě poprosit o radu a pomoc u výpočtu obsahu plochy ohraničené křivkami? Je dané $y^{2}=2x+1\text{ ; } x-y-1=0$ upravil jsem to a vypočítal meze, které vyšly 0 a 4. Pak jsem sestavil integrál $\int_{0}^{4}\sqrt{(2x+1)}-(x-1)dx$ zvolil jsem substituci $2x+1=t$ $dx=\frac{dt}{2}$ přepočítal jsem meze na 1 a 9. Pak právě nevím jestli jsem neudělal blbost v tom že jsem rozdělil původní integrál na dva a to: $\int_{1}^{9}\sqrt{t}dt-\int_{0}^{4}(x-1)dx$ Nenapadá mě jinak co s tím. Příklad jsem dopočítal a vyšlo mi 47,7. Jen u příkladu mám ještě poznámku že celkový obsah se bude rovnat $S=S_{1}+2S_{2}$ Ten druhý obsah mám vzít kde? Děkuji Vám moc za radu a pomoc.

Bati · 21. 04. 2012 13:38 — Editoval Bati (21. 04. 2012 13:39)

Zdravím,
je třeba si nakreslit obrázek a pak plochu rozdělit na 2 části. V tvém řešení není zahrnut "kopeček" přilepený zleva k ose y. To je pravděpodobně to 2S.

Michaell0071 · 21. 04. 2012 15:40

↑ Bati:Ahoj ano vím obrázek mám nakreslený. Zadání je tedy jen pro ten obsah -bez toho ,,kopečku´´? Jak ho tedy dopočítám? Jinak ty upravy co jsem udělal jsou v pořádku? Popřípadě i ten výsledek? Díky moc

Bati · 21. 04. 2012 15:55

Pokud v zadání je "...plocha ohraničená křivkami..." tak se tím myslí i ten kopeček. Aby se mi lépe počítal, mohu si ho "položit" na osu x a spočítat jeho obsah tímto integrálem:
$2\int_0^1\frac12(1-x^2)\,\mathrm{dx}$ .
Zbytek plochy je počítaný správně.

Michaell0071

↑ Bati:OK, můj postup: $S_1={}\int_{1}^{9}\sqrt{t}dt-\int_{0}^{4}(x-1)dx=\int_{1}^{9}t^{\frac{1}{2}}dt-\int_{0}^{4}(x-1)dx=[\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}]_{1}^{9}-[\frac{x^{2}}{2}-x]_{0}^{4}=(\frac{2}{3}\sqrt{19^{3}}-\frac{2}{3}\sqrt{3^{3}})-4=$
$=\underline{\text{47,7}}$
$S_2=2\int_{0}^{1}\frac{1}{2}(1-x^{2})dx=\int_{0}^{1}(1-x^{2})dx=[x-\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
A celkové S: $S=S_{1}+2S_{2}=47,7+\frac{4}{3}\doteq \underline{\text{49}}$

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2012 13:16

Obsah plochy ohraničené křivkami

#2 21. 04. 2012 13:38 — Editoval Bati (21. 04. 2012 13:39)

Re: Obsah plochy ohraničené křivkami

#3 21. 04. 2012 15:40

Re: Obsah plochy ohraničené křivkami

#4 21. 04. 2012 15:55

Re: Obsah plochy ohraničené křivkami

#5 21. 04. 2012 16:48 — Editoval Michaell0071 (21. 04. 2012 16:53)

Re: Obsah plochy ohraničené křivkami

Zápatí