Matematické Fórum

martinkuchovsky · 21. 04. 2012 15:53

Dobry den, doufam ze se tu mezi matematiky skryva i nejaky ekonom, ktery by poradil jak by sel resit tento priklad.

Firma v podminkach nedokonale konkurence ma celkovy prijem TR: Q->10*Q-7*Q^2 a celkove
naklady TC=4Q v zavslosti na prodanem mnozstvi Q a prodava mnozstvi, jez maximalizuje
jeji zisk. Vlada chce ulozit firme dan t USD na kazdou jednotku zbozi s cilem
maximalizovat celkove zdaneni. Jak vysokou dan ma ulozit?

Jedine co me napadlo je udelat derivace TR a TC pro ziskani MR a MC , ale nevim k cemu by to pak bylo.

halogan · 21. 04. 2012 16:18

1) Zkonstruuj ziskovou funkci té firmy (bez ohledu na daně).
2) Jak daň na výrobu ovlivní nákladovou funkci? Jaká bude nová zisková funkce?
3) Zkonstruuj produkční (nevim název teď) funkci, která na základě výše daně určí objem výroby.
4) Čím jsou určeny celkové daňové příjmy? Jak je maximalizovat?

Postupně se dostaneš k výsledku.

martinkuchovsky · 21. 04. 2012 16:52

↑ halogan:

1)
$zisk=TR-TC$
$zisk=10Q-7Q^{2}-4Q$
2)
$zisk_{dan}=(10Q-7Q^{2})-(4Q+T*Q)$
3)
obavam se ze s timto si neporadim.. asi se na to musi jit pres derivaci?

halogan · 21. 04. 2012 16:57

1,2) V pořádku.
3) Firma se snaží maximalizovat zisk manipulací s tím, co může ovlivnit (Q). Nemá vliv na daně (alespoň v tomto modelu). Ano, budeme derivovat.

martinkuchovsky

↑ halogan:

Tak jsem na to nakonec sel takto:

$MR=TR'=10-14Q$
$MC=TC'=4+T$

Za predpokladu $MC=MR$ jsem si vyjadril $T$ .
Potom $(6-14Q)*Q$ je celkovy prijem z dane jehoz maximum zjistim pres derivaci. Pak staci jen dosadit mnozstvi z maxima do vyjadreneho $T$ .

halogan · 22. 04. 2012 17:45

Možná to taky vyjde, přijde mi to ale docela neintuitivní. Nastíním to svoje řešení:

Firma maximalizuje zisk přizpůsobením objemu výroby

$\pi(Q,t) = TR(Q) - TC(Q,t)$

$\frac{\partial \pi (Q, t)}{\partial Q} = MR - MC = 0 \quad \wedge \quad \frac{\partial^2 \pi}{\partial^2 Q} < 0$

Zjistí tak, že musí platit $6-14Q - t = 0$ , tedy $Q (t)= \frac{6-t}{14}$ . Zde je důležité, že firma ovládá Q, nikoliv t. Firma je příjemcem informací o daních, netvoří je.

Pak nastupuje stát, zná v tomto případě reakční funkci firmy, ví že $Q(t) = \frac{6-t}{14}$ a snaží se maximalizovat svůj zisk, který je závislý jen a pouze na t:

$\pi_G (t) = t \cdot Q(t) = \frac{6t - t^2}{14}$ ,
optimalizuje tedy:

$\frac{\partial \pi_G (t)}{\partial t} = \frac{6-2t}{14} = 0$

Po ověření, že druhá derivace dle $t$ je záporná (a zisková funkce tedy nabývá maxima) zjišťuje, že ideální daň je $t=3$ .

Takhle nějak by se to mohlo řešit.

Snad je to takto srozumitelné.