Matematické Fórum

elypsa · 23. 04. 2012 17:51

Opět zdravím,

mám tu zase dva příklady, ale mělo by mě stačit jen trochu navést nebo možná i najít chybu a já dopracuji sám.

První příklad jsem měl dokázat:

$2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^n=2^{n+1}-1$

přeskočím rovnou k indukci

$2^0+2^1+2^2+...+2^k=2^{k+1}-1\\2^0+2^1+2^2+...+2^k+2^{k+1}=2^{k+2}-1\\ 2^{k+1}-1+2^{k+1}=2^{k+2}-1$
zde končím..Asi tam budu mít opět nějakou chybku..

Druhý příklad opět důkaz.
$5|(8^{2n}-3^{2n})$

opět skok k indukci
$5|(8^{2k}-3^{2k})\\5|(8^{2(k+1)}-3^{2(k+1)})\\8^{2k+2}-3^{2k+2}$
můj pokus o vyjádření předpokladu, kde si nejsem jist posledním krokem a to násobení -1. Proto prosím teda o kontrolu, zda to je OK.
$8^{2k+2}-3^{2k+2}+8^{2k}-8^{2k}+3^{2k}-3^{2k}=\\=8^{2k+2}+8^{2k}-3^{2k+2}-3^{2k}+3^{2k}-8^{2k}=\\=8^{2k}(65)-3^{2k}(10)+3^{2k}-8^{2k}=\\ =5\cdot(13\cdot8^{2k}-2\cdot3^{2k})-1(8^{2k}-3^{2k})$

Díky

zdenek1 · 23. 04. 2012 17:57

↑ elypsa:
ad 1. proč bys končil?
$2^{k+1}+2^{k+1}=2\cdot 2^{k+1}=2^{k+2}$

elypsa · 23. 04. 2012 17:59

Marja :d No to se teď sebe taky ptám :))

Díky

zdenek1 · 23. 04. 2012 18:06

↑ elypsa:
ad 2) i tohle je dobře,
$5\cdot(13\cdot8^{2k}-2\cdot3^{2k})-1(8^{2k}-3^{2k})$ , protože podle indukčního předpokladu
$8^{2k}-3^{2k}=5t$ , $t\in\mathbb N$ , je poslední řádek
$5\cdot(13\cdot8^{2k}-2\cdot3^{2k})-5t$
a to je evidentně dělitelné pěti

elypsa · 23. 04. 2012 18:07

↑ zdenek1:

Děkuji za pomoc! :)

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2012 17:51

Důkaz matematickou indukcí II.

#2 23. 04. 2012 17:57

Re: Důkaz matematickou indukcí II.

#3 23. 04. 2012 17:59

Re: Důkaz matematickou indukcí II.

#4 23. 04. 2012 18:06

Re: Důkaz matematickou indukcí II.

#5 23. 04. 2012 18:07

Re: Důkaz matematickou indukcí II.

Zápatí