Matematické Fórum

skoroakvarista · 23. 04. 2012 20:18

Zdravím, mám problém s dopočítáním x-ové souřadnice těžiště cykloidy vzniklé jedním otočením kružnice o poloměru a. Parametrizace křivky $x=\mathrm{a}(t-\sin t);\ y=\mathrm{a}(1-\cos t);\ t\in(0, 2\pi)$ a hustota $\varrho(x,y)=y$ .
Je mi jasné, že ta souřadnice bude $\mathrm{a}\pi$ , protože křivka i její hustota jsou v x-ovém směru kolem této souřadnice symetrické. Bohužel se ale k tomuto číslu nemohu dointegrovat.
Problémový integrál je tedy $x_\mathrm{T}=\frac{3\mathrm{a}\sqrt{x}}{32}\int_0^{2\pi}{(t-\sin t)(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t}$ , případně $\int_0^{2\pi}{t(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t}$ , protože $\int_0^{2\pi}{-\sin t(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t}=0$ . Integrál by měl být sestavený správně, wolfram (nenabízející "step by step") dojde k očekávanému $\mathrm{a}\pi$ .

Prosím tedy o nakopnutí, jakým směrem se vydat. Díky :)

jelena · 23. 04. 2012 22:58

Zdravím,

celé jsem nekontrolovala. Nepomůže rozepsat $\int{t(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t}=\int{t$\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}-\(\cos^2 \frac{t}{2}-\sin^2 \frac{t}{2}$\)^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}t}=$

Pokud zadáš do Wolfram bez mezí - také neukazuje postup? Děkuji.

skoroakvarista · 23. 04. 2012 23:02

↑ jelena:
Bohužel nenabízí, to jsem zkoušel už dva dny zpátky. Děkuji za to rozepsání, zkusím se s tím popasovat, ikdyž to vypadá ještě o něco hůř než původní zápis.

skoroakvarista · 23. 04. 2012 23:10

↑ jelena:
Tak oprava, pro takto rozepsané už nabízí step by step a dokonce to v tom vidím už i já. Díky moc.

jelena · 23. 04. 2012 23:14

↑ skoroakvarista:

není za co, ať dořešíš.

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2012 20:18

cykloida, těžiště křivky

#2 23. 04. 2012 22:58

Re: cykloida, těžiště křivky

#3 23. 04. 2012 23:02

Re: cykloida, těžiště křivky

#4 23. 04. 2012 23:10

Re: cykloida, těžiště křivky

#5 23. 04. 2012 23:14

Re: cykloida, těžiště křivky

Zápatí