Matematické Fórum

yeapko · 25. 04. 2012 21:31

dobrý den, mam problem s touto ulohou
bez reseni dane rovnice najdi kvadrantickou rovnici, jejiz koreny jsou petinasobkem korenu dane rovnice.

$x^{2}-9x - 2142 = 0$

Phate · 25. 04. 2012 21:38

Ahoj,
Znas Vietovy vztahy pro koreny kvadraticke rovnice?

yeapko · 25. 04. 2012 21:48 — Editoval yeapko (25. 04. 2012 22:17)

znam, ale nejak mi to s nima nejde, proto se obracim na vas, kvuli postupu, s temito vztahy jsem dosel k
$5x_{1}*5x_{2}=q$ , pricemz $x_{1}*x_{2}=-2142$ zde mě napadá vytknout 5 a dostanu se na $25*(x_{1}*x_{2})=q$ , pricemz by q vychazelo dvacetipetinasobku -2142, coz je podle me divne, protoze by to bylo moc lehke a rovnice by tim padem byla :
$x^{2}-45x-53550 = 0$

Phate · 25. 04. 2012 21:56

Jsme na spravne ceste, $5x_{1}*5x_{2}=25 *x_{1}*x_{2}$ , kde hodnotu soucinu $x_{1}*x_{2}$ znas, staci dosadit. Podobne pro nase nove $p$

yeapko · 25. 04. 2012 22:02 — Editoval yeapko (25. 04. 2012 22:02)

moment, uz tomu rozumim, tento zapis mam v sesitu a delal jsem to tak ze jsem si udelal soucin dvou zavorek, dobre dosel jsem k $q=-53550$ dál netuším

yeapko · 25. 04. 2012 22:12 — Editoval yeapko (25. 04. 2012 22:20)

a co kdyz $x_{1}+x_{2}=9$
tak $5x_{1}+5x_{2}=-p$
vytknu 5
$5*(x_{1}+x_{2})=-p$
dosadim
$5*(9)=-p$
$p=-49$
takze by rovnice byla $x^{2}-49x-53550=0$

cekam na schvaleni, btw. reputace + za rady ;)

Takjo · 25. 04. 2012 22:41

↑ yeapko:
Dobrý večer,
zkuste použít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice:
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ a $x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$
Takže: $x_{1}+ x_{2}=9$ a $x_{1}\cdot x_{2}=-2142$
Hledaná rovnice $y^{2}+py+q=0$ má mít kořeny: $y_{1}=5x_{1}; y_{2}=5x_{2}$
Vietovy vzorce pro novou rovnici:
$p=-(y_{1}+y_{2})=-5\cdot (x_{1}+x_{2})=-5\cdot 9=-45$
$q=y_{1}\cdot y_{2}=5x_{1}\cdot 5x_{2}=25x_{1}x_{2}=-53550$
Výsledná rovnice je tedy: $y^{2}-45y-53550=0$

yeapko · 25. 04. 2012 22:43

Tyto vztahy jsou az moc rozsahle, radsi se budu ridit temi pouzitými nahore, kde jste mi vlastně potvrdil výsledek, děkuji za rady a prosím o Lock.

Cheop · 26. 04. 2012 07:57

↑ yeapko:
Jen upozorňuji $-5\cdot 9\,\ne\,-49$

Siroga · 26. 04. 2012 09:16 — Editoval Siroga (26. 04. 2012 09:17)

Proč to dělat složité když to jde jednoduše, $x^{2}-9x - 2142 = 0$ pokud je rovnice kořeny které jsou 5 krát větší tak si stačí uvědomit že to 9 je součet $x_{1}$ a $x_{2}$ a 2142 je výsledek jejich vynasobeni mezí sebou takže pokud hledaný výsledky jsou $y_{1}$ a $y_{2}$ 5 krát větší tak to znamená že jejich rozdíl je 5 krát verši a součin 5*5 krát větší, $y^{2}-5*9y - 5*5*2142 = 0$