Matematické Fórum

Honza90 · 01. 05. 2012 19:24

Dobrý den, vážení fyzikové. Potřeboval bych pomoct s vyjádření teploty vody závislé na čase T(t). Zadání jest takové, že uvnitř kádinky s vodou o hmotnosti m je topná spirála o konstantním příkonu U*I. Teplo se přenáší na vodu, kádinku a okolí, rovnice: $UIdt=mcdT + KdT + \varkappa (T-T_{0})dt$ kde K je rovno součinu hmotnosti a měrné tepelné kapacity kádinky(není důležité) a kappa je ochlazovací konstanta. Graf závislosti teploty na čase by měl mít logaritmický průběh, asymptoticky se blížící k určité hodnotě na ose y. Díky za pomoc.

zdenek1 · 01. 05. 2012 21:08

↑ Honza90:
pro přehlednost $\alpha=mc+K$
separace proměnných
$[UI-\varkappa (T-T_0)]\mathrm{d}t=\alpha\mathrm dT$
$\mathrm{d}t=\alpha \frac{\mathrm dT }{UI-\varkappa (T-T_0)}$
$\int\mathrm{d}t=\alpha \int\frac{\mathrm dT }{UI-\varkappa (T-T_0)}$

substituce $UI-\varkappa (T-T_0)=y$ , $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} T}=-\varkappa$
$\int \mathrm dt=-\frac{\alpha }{\varkappa }\int \frac{\mathrm{d} y}{y }$
$t+C=-\frac{\alpha }{\varkappa }\ln [UI-\varkappa (T-T_0)]$
nyní počáteční podmínky - tady jsem se trochu domýšlel. $T_0$ je zřejmě teplota okolního prostředí, na které se to chladí. Předpokládám, že na počátku byla teplota vody v kádince stejná jako okolního prostředí, tj. $T(0)=T_0$ Pak
$C=-\frac{\alpha }{\varkappa }\ln (UI)$
Nyní jen vyjádřit $T$
$T=T_0+\frac{UI}{\varkappa }(1-\mathrm{e}^{-\frac{\varkappa t}{\alpha }})$

Honza90 · 01. 05. 2012 23:32

Moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 01. 05. 2012 19:24

ochlazovací rovnice

#2 01. 05. 2012 21:08

Re: ochlazovací rovnice

#3 01. 05. 2012 23:32

Re: ochlazovací rovnice

Zápatí