Matematické Fórum

petr_v · 02. 05. 2012 12:56

Ahoj, potřebuji zjistit kdy je funkce $arcsin (x) - 2\sqrt{1-x^2}$ konkavni/konvexni.

Urcil jsem si 2. derivaci:

$\frac{x+2}{(1-x^2)^\frac{3}{2}}$

Tu jsem porovnal s nulou a vysel mi inflexni bod -2.

Definicni obor f(x) je <-1;1>. Je k necemu dobry ten inflexni bod? Nebo se nepouziva kdyz je mimo Df?

jardofpr · 02. 05. 2012 13:04

ahoj ↑ petr_v:

ako píšeš, $D(f)=[-1,1]$
platí $D(f')\subset D(f)$ a $D(f'')\subset D(f')$

bod $x=-2$ ťa teda nezaujíma, $f(x)$ je podľa, 2.derivácie na $[-1,1]$ kladná,
$f(x)$ je teda konvexná na celom $D(f)$

petr_v · 02. 05. 2012 13:09

Díky. Ještě potřebuji určit asymptoty, ale opět mě mate definiční obor. Na celém R vím že se určují asymptoty jako limita k +/- nekonečno. Jak je to na intervalu <-1;1>?

jardofpr

↑ petr_v:

treba hľadať len asymptoty bez smernice
keďže ide o spojitú funkciu, môžu to byť len priamky pretínajúce os x v krajných bodoch intervalu

Rumburak · 02. 05. 2012 13:39

Asymptoty grafu funkce $y=f(x)$ jsou obecně dvojího druhu:

1) As. v nevlastním bodě, tj. při $x \to +\infty$ resp. $x \to -\infty$ , takovou mají např. grafy funkcí $f(x) = \frac{1}{x}$ , $g(x) = \frac{x+1}{2x}$ .

2) As. ve vlastním bodě, tj. při $x \to a+$ resp. $x \to a-$ , kde $a$ je bod, v němž funkce má odpovídající jednostrannou limitu, která je nevlastní
(je rovna $+\infty$ nebo $-\infty$ ). Rovnice takové as. pak je $x = a$ . Příkladem je graf funkce $h(x) = \ln \,x$ , mající pro $x \to 0+$ as. o rovnici $x = 0$ .
Pod tento případ spadá i situace, kdy uvažovaná nevlastní limita je oboustranná (graf funkce $k(x) = \ln\,|x|$ pro $x \to 0$ ).

petr_v · 02. 05. 2012 13:50

Docela se v té teorii strácím. Jestli to chápu dobře, tak pro můj případ platí asymptota ve vlastním bodě. Takže budu počítat

$\lim_{x\to1^-}arcsin (x) -2\sqrt{1-x^2}$
a
$\lim_{x\to-1^+}arcsin (x) -2\sqrt{1-x^2}$

???

Rumburak

↑ petr_v:
Tady je na místě otázka, jak jste si asymptotu definovali: zpravidla se tím míní přímka, k níž se křívka - intuitivně řečeno - "limitně přimyká v nekonečné
vzdálenosti od počátku" - typický případ je hyperbola a její dvě asymptoty. Ale není problém pojmout asymptotu tak, že na podmínce "v nekonečné
vzdálenosti od počátku" nebudeme trvat. Tak např. funkce

$f(x) = \frac{\sin x}{x}$

není definována v bodě 0 , avšak má v tomto bodě limitu, jejíž hodnotou 1 můžeme tuto funkci v bodě 0 spojitě dodefinovat. Pak se můžeme starat o to,
zda graf takto dodefinované funkce $f_1$ má v bodě 0 tečnu (zleva resp. zprava) a pokud zjistíme, že ano, prohlásíme ji za odpovídající asymptotu grafu
původní funkce $f$ .

V případě $f(x)=\arcsin (x) -2\sqrt{1-x^2}$ jde však o funkci definovanou a spojitou v uzavřeném intervalu $[-1, 1]$ a proto bych i v jeho krajních
bodech hovořil spíše o tečnách než o asymptotách (odpovídající jednostranné derivace v krajních bodech jsou $+\infty$ , takže tyto tečny budou mít
rovnice $x = -1$ rep. $x = 1$ ).

Ale podívej se do svých studijnéch materiálů, jak to pojímají Tví učitelé.