Matematické Fórum

hanb · 03. 11. 2008 14:58

Ahoj, muzete mi poradit s timto prikladem:

vypoctete obecne matici X z maticove rovnice
AXB-2C=O?
A a B jsou regulární matice.

Dekuju moc predem!

musixx · 03. 11. 2008 15:02 — Editoval musixx (03. 11. 2008 15:04)

↑ hanb: Pozor na nasobeni zleva/zprava. Jinak to neni nic jineho nez to, co znas z pocitani s cisly. Matice - jakozto algebraicke objekty - tatkez tvori (minimalne) okruh. Takze:
$AXB-2C=0\ \Longleftrightarrow\ AXB=2C\ \Longleftrightarrow\ XB=A^{-1}\cdot(2C)\ \Longleftrightarrow\ X=A^{-1}\cdot(2C)\cdot B^{-1}$ .

Jen pozor na to krat: v pripade 2C jde o nasobeni vsech prvku matice C cislem 2, vsechna ostatni nasobeni jsou nasobeni matic.

hanb · 03. 11. 2008 15:15

↑ musixx:
prave tou komutativnosti nasobeni jsem si nebyla jista. diky moc

musixx · 03. 11. 2008 15:17

↑ hanb: Nasobeni matic neni obecne komutativni. Nemohu tedy treba psat $X=2CA^{-1}B^{-1}$ . Tak jsi to myslela, ze?

hanb · 03. 11. 2008 15:22

↑ musixx:
ano, presne tak, nevedela jsem, v jakem poradi je mam presouvat z leve strany na pravou.

je na to nejake pravidlo?

musixx · 03. 11. 2008 15:32 — Editoval musixx (03. 11. 2008 15:36)

↑ hanb: No jasneze. Vime, ze $AA^{-1}=A^{-1}A=E$ je jednotkova matice (tedy analogie cisla 1 pri pocitani s cisly). Tedy $AXB$ ma smysl nasobit tim $A^{-1}$ jen zleva, protoze je pravda, ze $A^{-1}AXB=XB$ . Zprava by to smysl moc nemelo: obecne se s $AXBA^{-1}$ neda nic dal udelat.

EDIT:

Ted me jeste napada, ze se bavis o "poradi presouvani z leve strany (rovnosti) na pravou". Tak to ale nema nic spolecneho s komutativitou nasobeni. Mohl jsem samozrejme nejprve nasobit inverzi k B zprava a az pak inverzi k A zleva. Tak to jen pro ujasnenou.

hanb · 03. 11. 2008 15:52

↑ musixx:

jak jsi prisel na to, ze 2C je v uprostred?

jednoduse bez oznaceni inverznich matic (neprisla jsem na to, jak udelat tady horni index)

Kdyz mam AXB=C
tak X= ACB. je to tak? jestli ano, tak proc? Proc to neni X=CBA? to toto poradi mi jde...s tim si nevim rady

musixx · 03. 11. 2008 16:11

↑ hanb: Dobra, vynechme tu dvojku, je stejne jenom matouci. Vime, ze $AXB=C$ . Jak osamostatnit X? No jedna spravna cesta je obe strany rovnice vynasobit ZLEVA inverzi k A, tedy dostaneme $A^{-1}AXB=A^{-1}C$ , tedy $XB=A^{-1}C$ . Pak to podobne vynasobime ZPRAVA inverzi k B, tedy dostaneme $XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$ , tedy $X=A^{-1}CB^{-1}$ .

Co bych musel delat, abych dostal treba ten tebou uvedeny vysledek $CB^{-1}A^{-1}$ ? No, musel bych celou pocatecni rovnost nejprve vynasobit inverzi k B zprava a pak inverzi k A zprava, tedy bych dostal $AXBB^{-1}A^{-1}=CB^{-1}A^{-1}$ , coz bych jeste mohl upravit na $AXA^{-1}=CB^{-1}A^{-1}$ , ale to rozhodne neni X=neco. Chapes to uz?