Matematické Fórum

Mr. Lama · 04. 05. 2012 10:36

Ahoj,

mám takovou otázku, dosud jsem si myslel, že s počátečními podmínkami se může počítat jen v obecném řešení diferenciální rovnice, ale narazil jsem na zadání:
"Vypočítejte partikulární řešení rovnice podle zadaných počátečních podmínek..."

Mohl by mi někdo nastínit, co se tím myslí, prosím?

A pak ještě druhá otázka, pokud bych měl toto partikulární řešení nakreslit do grafu, jak by to mělo vypadat?

Děkuji předem :)

Rumburak

Ahoj.

Obecné řešení obyčejné dif. rovnice nebere v úvahu žádné další podmínky (počáteční, okrajové , ...) a vystupují v něm volitelné číselné parametry -
integrační konstanty, jejichž počet je roven řádu diferenciální rovnice. Když hodnoty všech integračních konstant zvolíme konkretně (například tak,
aby byly splněny též počáteční podmínky), dostaneme tzv. partikulární řešení.

Partikulární řešení ODR je tedy každá KONKRETNÍ funkce, která splňuje tuto rovnici a není již závislá na žádném dalším parametru (integrační konstantě).
Při konstrukci jejího grafu můžeme postupovat obvyklým způsobem jako u kterékoliv jiné funkce.

Příklad: Obecným řešením DR y'(x) = cos x je y(x) = sin x + C , partikulárním řešením y(x) = sin x + 5 .

Mr. Lama · 04. 05. 2012 12:16

Měl jsem na mysli lineární diferenciální rovnici druhého řádu.

Příklad: $y''+3y'=cos2x$
homogenní řešení je $y_{h}=C_{1}+C_{2}\cdot \mathrm{e}^{-3x}$
partikulární řešení je $y_{p}=-\frac{1}{13}\cdot cos2x+\frac{3}{26}sin2x$
obecné řešení je $y_{o}=C_{1}+C_{2}\cdot \mathrm{e}^{-3x}-\frac{1}{13}\cdot cos2x+\frac{3}{26}sin2x$

partikulární řešení pro počáteční podmínku $y(0)=1, y'(0)=-1$ :

$y=-\frac{34}{13}+\frac{16}{39}\cdot \mathrm{e}^{-3x}-\frac{1}{13}\cdot cos2x+\frac{3}{26}sin2x$

Je to tak správně?

Rumburak · 04. 05. 2012 12:33

↑ Mr. Lama:
Splnění poč. podmínek pro výsledné řešení jsem už neověřoval, ale předchozí kroky jsou správně.

Jen místo "homogenní řešení" bych raději používal "(obecné) řešení homogenní rovnice", ale není to, myslím, nic zásadního.

Mr. Lama · 04. 05. 2012 12:40

prosím ještě (kohokoliv) o ověření řešení s poč. podmínkou, to předtím jsem si už ověřoval přes WolframAlpha, ale přesto díky za pomoc Rumburaku

Mr. Lama · 04. 05. 2012 13:15

Ještě malá otázka, za předpokladu, že by to řešení pro počáteční podmínky bylo správně, kdybych to chtěl zakreslit do grafu jen na určitém intervalu, vyšetřoval bych to jako průběh funkce nebo se to dělá jinak?

Děkuju

Rumburak

↑ Mr. Lama:

Kontrola poč. podmínek:

Dostaneš dosazením $x=0$ do

(1) $y(x)=-\frac{34}{13}+\frac{16}{39}\cdot \mathrm{e}^{-3x}-\frac{1}{13}\cdot \cos2x+\frac{3}{26}\sin2x$

hodnotu $y(0)=0$ ? Mně to tak nevychází.

Obdobně doazením $x=0$ do

$y'(x)=\frac{16}{39}\cdot (-3)\cdot\mathrm{e}^{-3x}+\frac{1}{13}\cdot 2 \cdot \sin2x+\frac{3}{26}\cdot 2\cdot \cos2x$

by mělo vyjít $y'(0)=-1$ - to mi vyšlo.

Pokud tam opravdu je ona chyba, tak nutno jinak volit konstantu $C_1$ .

K otázce, jak se kreslí grafy funkcí, je těžké dávat nějaké návody. Dbáme na to, aby graf protínal osy ve správných bodech,
aby souhlasily extrémy, inflexní body a případné asymptoty a důležité tečny, čili - jak se správně domýšlíš - je potřeba vyšetřit
průběh funkce.

Mr. Lama · 04. 05. 2012 14:40

ještě jednou díky, byla tam chyba (neumím už ani sčítat zlomky :D ) konstanta C1 má být $C_{1}=\frac{26}{39}$ , a teď už mi to vychází :) takže teď už jen vyšetřit průběh - a to už udělám v nějakém programu, vzhledem k tomuto "nehezkému tvaru" se mi to nechce dělat ručně, ale to už je detail

Ještě jednou díky za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2012 10:36

Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#2 04. 05. 2012 10:58 — Editoval Rumburak (04. 05. 2012 11:06)

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#3 04. 05. 2012 12:16

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#4 04. 05. 2012 12:33

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#5 04. 05. 2012 12:40

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#6 04. 05. 2012 13:15

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#7 04. 05. 2012 14:05 — Editoval Rumburak (04. 05. 2012 14:06)

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

#8 04. 05. 2012 14:40

Re: Diferenciální rovnice s počátečními podmínkami + graf

Zápatí