Matematické Fórum

Ppetan · 05. 05. 2012 11:33

Ahoj,
prosím o kontrolu postupu u tohoto příkladu.

Zadání:
Nalezněte obrazy funkce y:x-> x.sinx v zobrazeních f1,f2 a f3 a rozhodněte, které zobrazení f1,f2,f3 je aditivní, homogenní a lineární.

Děkuji

jardofpr

ahoj ↑ Ppetan:

tie obrazy vyzerajú dobre, ale to overovanie vlastností sa mi nezdá

napr.pri tej aditívnosti by malo ísť o aditívnosť len vzhľadom na $y$
lebo zobrazenia $f_{i}$ sú zobrazeniami medzi lineárnymi priestormi funkcií s určitými vlastnosťami

takže mám pocit že napr. pre $f(1)$ by vyzeralo to overenie takto:

$f_{1}(y_{1}+y_{2})=-5(y_{1}+y_{2})'' \sin{x}-3x^2(y_{1}+y_{2})=$
$=-5y_{1}''\sin{x} -5y_{2}''\sin{x} -3x^2y_{1}-3x^2y_{2}=f_{1}(y_{1})+f_{1}(y_{2})$
a zobrazenie je aditívne

$f_{1}(\alpha y)=-5(\alpha y)'' \sin{x}-3x^2(\alpha y)=\alpha (-5y''\sin{x}-3x^2y)=\alpha f_{1}(y)$ a je aj homogénne

atď.

zemik · 05. 05. 2012 15:50

↑ Ppetan:
Ahoj řeším to samé (TUL). Každopádně vidím, že máš na 3. řádku s f1 špatně mocninu-patří k sinu, nikoliv k x.
Omlouvám se za syntaxi, jsem tu čerstvej.
Z

Ppetan · 05. 05. 2012 18:35

↑ jardofpr:

Děkuji za odpověď, jen mě nejde do hlavy proč by mělo jít o aditivnost jen na y ?

jardofpr

↑ Ppetan:

povedzme že $V,W$ sú lineárne priestory funkcií s nejakými vlastnosťami ,nebudem tu rozpisovať úplne všetko, napr. všetky funkcie vo $V$ musia byť aspoň 2-krát diferencovateľné, aby sme tam mohli definovať zobrazenie $f_{1}:V \rightarrow W\,,\, y \mapsto f_{1}(y)$

teda funkcii $y$ z $V$ zobrazenie $f_{1}$ priradí funkciu $z=f_{1}(y)\in W$

prvkami priestorov sú teda funkcie, nie čísla na reálnej osi

funkcia $f:V\rightarrow W$ je aditívna ak platí $f(y_{1}+y_{2})=f(y_{1})+f(y_{2})$

teda ak "obraz súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu ich obrazov" v tomto prípade

je to jasnejšie?