Matematické Fórum

stromboli · 05. 05. 2012 13:59

Ahoj, potřebuju,prosím poradit s touto úlohou:

Máme bod Q[0,-1] a parabolu $y^{2}-4x-2y+13=0$ a máme zjistit rovnice tečen k parabole procházejicích bodem Q.

Myslím, že vím jak na to, jenom nevím jak zjistit směrnici k.Vím že pomocí derivace, jenže mi to nějak u této paraboly nejde. Děkuji za rady:)

jelena · 05. 05. 2012 19:11

Zdravím,

použití derivací by vyžadovalo derivování implicitní funkce - pokud jste brali, můžeš použit. Druhá možnost je naznačena v tomto postupu (jinak zkus projit pomocí tlačítka Hledat, takových úloh je zde více).

Zvolíš body na parabole se souřadnici $x_t$ , tomu budou odpovídat 2 souřadnice $y_1$ , $y_2$ a sestavíš rovnice pro přímku procházející zadaným bodem a bodem na parabole. Dosazení souřadnic Q dává hodnotu q (to už máš, jak jsem rozuměla).

Potom se použije podmínka pro tečnu - nulový diskriminant sestavené rovnice. Stačí tak? Děkuji.

Takjo · 05. 05. 2012 21:13

↑ stromboli:
Dobrý večer,
zkusme i tento postup:
nejprve upravíme rovnici paraboly na vrcholový tvar: $(y-1)^{2}=2\cdot 2\cdot (x-3)$
kde vrchol $V=[m;n]=[3;1]$
Obecná rovnice tečny paraboly (dle našeho zadání) v bodě dotyku $T=[x_{T};y_{T}]$ :
$(y-n)\cdot (y_{T}-n)=p\cdot (x+x_{T}-2m)$
a pro náš příklad: $(y-1)\cdot (y_{T}-1)=2\cdot (x+x_{T}-6)$ rovnice 1)
Bod Q leží na tečně, proto musí vyhovovat rovnici 1): $(-1-1)\cdot (y_{T}-1)=2\cdot (0+x_{T}-6)$ rovnice 2)
Bod dotyku T leží na parabole, musí vyhovovat rovnici paraboly: $(y_{T}-1)^{2}=4\cdot (x_{T}-3)$ rovnice 3)
Zbývá vyřešit soustavu dvou rovnic [ 2) a 3) ] pro dvě neznámé $[x_{T};y_{T}]$ a poté dosadit do rovnice 1).
Přeji příjemnou zábavu ... :)