Matematické Fórum

keeperxcz · 05. 05. 2012 19:45

Prosím Vás, můžete mě někdo pomoct s dvěma úkoly do matematiky? V jednom mám vypočítat tečnou rovinu a normálu k ploše a v druhém Tečnu a normálu ke grafu funkce. Bohužel jsme tohle počítali ve cviku jenom letmo a nevím si stím vůbec rady. Předem díky za jakoukoliv pomoc.

jardofpr · 06. 05. 2012 03:14

ahoj ↑ keeperxcz:

ozn:
$f(x,y,z):=x^2y^3z+\mathrm{arctg}(xyz)-1-\frac{\pi}{4}$

platí:
1.) $f(M)=0$
2.) $\frac{\partial \,f}{\partial \,z}(M)=\frac{3}{2} \neq 0$
3.) $f$ má na nejakom okolí bodu $M$ iste spojité parciálne derivácie podľa premenných $x,y,z$

z vety o funkcii danej implicitne potom vyplýva, že
existuje okolie $U$ bodu $(1,1)$ v rovine $xy$ a okolie $V$ bodu $1$ na osi $z$ , a
spojite parciálne diferencovateľná funkcia $z:U\rightarrow V\,,\,(x,y)\mapsto z(x,y)$ tak, že

$f(x,y,z(x,y))=0 \,,\,\forall (x,y)\in U$ ,

pričom parciálne derivácie $z(x,y)$ podľa $x$ a $y$ (nielen) v bode $(1,1)$ vieme vypočítať pomocou vzťahov

$\frac{\partial \, z}{\partial \,x}((1,1))=-\frac{\partial \, f}{\partial \,x}(M)\Big(\frac{\partial \,f}{\partial \,z}(M)\Big)^{-1}$

$\frac{\partial \, z}{\partial \,y}((1,1))=-\frac{\partial \, f}{\partial \,y}(M)\Big(\frac{\partial \,f}{\partial \,z}(M)\Big)^{-1}$

$M=(1,1,1)=(1,1,z(1,1))\Rightarrow z(1,1)=1$

k dotykovej rovine by si mal mať teraz všetko čo potrebuješ

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2012 19:45

Tečna roviny a normála k ploše, Tečna a normála ke grafu funkce

#2 06. 05. 2012 03:14

Re: Tečna roviny a normála k ploše, Tečna a normála ke grafu funkce

Zápatí