Matematické Fórum

hanusova19 · 10. 05. 2012 14:12

Ahoj potřebovala bych poradit s příkladem:

Uvažujme reálnou funkci f jedné reálné proměnné definovanou předpisem

$f (x)=\log_{}(|2x-6|-|2x+4|+3)$
definiční obor této funkce je roven množině ...

výsledek: $(-\infty ;\frac{5}{4})$

Předem děkuju

Rumburak · 10. 05. 2012 14:28

Ahoj.
Jde o složenou funkci tvaru $f(x)=\log h(x)$ , kde $h(x)=|2x-6|-|2x+4|+3$ . Na definiční obor funkce f budou mít vliv definiční obory
funkcí log, h, z nichž je f složena.

hanusova19 · 10. 05. 2012 14:52

Jenže já bych to potřebovala trošku podrobněji.

Rumburak · 10. 05. 2012 15:02

Číslo $c$ patří do definičního oboru funkce $f$ tehdy a jen tehdy, když jsou splněny 2 podmínky:

1. číslo $c$ patří do definičního oboru funkce $h$ ,

2. číslo $h(c)$ patří do definičního oboru funkce $\log$ .

Především si tedy musíme uvědomit, jak vypadají definiční obory funkcí $h, \log$ .

gogy27 · 10. 05. 2012 15:04 — Editoval gogy27 (10. 05. 2012 15:06)

Číslo, ktoré logartimujeme nesmie byť menšie a ani rovné ako 0.
Teda ťa zaujíma táto časť, ktorú napísal ↑ Rumburak: a teda: $h(x)=|2x-6|-|2x+4|+3$

Teda: $|2x-6|-|2x+4|+3>0$

hanusova19 · 10. 05. 2012 15:16

Todle chápu, ale já bych spíš potřebovala poradit jak odstranit ty absolutní hodnoty.

Rumburak

To se dělá pomocí známé medody rozdělení reálné osy na intervaly, za jejichž hraniční body vezmeme ty, v nichž některá
z funkcí uvnitř abs. hodnoty mění znaménko. V našem případě jde o body

-2 ... v něm mění znaménko funkce 2x + 4 ,
3 ... v něm mění znaménko funkce 2x - 6 .

Reálná osa se rozpadne na disjunktní intervaly $(-\infty,-2)$ , $\langle -2, 3)$ , $\langle 3, +\infty)$ a na každém z nich už absolutní hodnoty
z předpisu pro funkci $h$ umíme odstranit. Tak například na intervalu $\langle 3, +\infty)$ je $h(x)=(2x-6)-(2x+4)+3 = -7 < 0$ ,
takže v žádném bodě intervalu $\langle 3, +\infty)$ funkce $\log h(x)$ definována nebude.

Obdobně vyšetřujeme průběh funkce $h$ a zejména její znaménko na ostatních z uvedených tří intervalů.

hanusova19 · 11. 05. 2012 18:12

Děkuju moc, akorát ještě mě h(x) vyšlo -7>0, nevím proč tam máš otočené znaménko

gogy27 · 11. 05. 2012 21:06

↑ hanusova19:
Rumburak to má správne. Čo ti nejde do hlavy? On nikde neotača na danom intervala žiadne znamienko.

jelena · 11. 05. 2012 21:10

hanusova19 napsal(a):
akorát ještě mě h(x) vyšlo -7>0, nevím proč tam máš otočené znaménko

Pokud navazuješ na příklad řešení na intervalu $\langle 3, +\infty)$ , který má vážený kolega ↑ Rumburak:, potom na tomto intervalu po odstranění absolutních závorek má:

$h(x)=(2x-6)-(2x+4)+3 = -7$ a kolega vyhodnotil (-7) jako číslo menší, než 0, proto udělal závěr, že na tomto intervalu funkce $\log (h(x))$ není definována.

Pokud ovšem komentuješ něco jiného, potom, prosím, napiš celý výpočet, jinak tomu Tvému závěru není rozumět. Děkuji, zdravím.

doplněno ↑ gogy27: omlouvám se za vstup, procházela jsem nedořešené téma a neviděla jsem, že už jsi přidal vysvětlení.

Děkuji. Jelena

hanusova19 · 21. 05. 2012 11:03

Mě řešení intervalu $\langle3;\infty)$ vyšlo -7>0 (tedy funkce v tomto intervalu není definována) ale Rumburak má ve svém řešení -7<0, proto nevím, kde mám chybu.

gogy27 · 21. 05. 2012 11:17

↑ hanusova19:
Áno, Tebe to vyšlo správne. Kolega ↑ Rumburak: len ukázal to, že $-7 < 0$ a teda, že toto nemôže patriť do definičného oboru logaritmu, preto nemôžme brať do úvahy daný interval.

Rumburak

↑ hanusova19:

V podstatě jsme ve shodě, jde jen o jiný úhel pohledu:

Ty jsi vyšla z nerovnice $h(x) > 0$ a vyšlo Ti na příslušném intervalu $-7 > 0$ , což je výrok, který je zřejmě nepravdivý.

Tím jsi dokázala, že na tomto intervalu nerovnost $h(x) > 0$ platit nemůže , tudíž tam platí $h(x)\le 0$ . Provedla jsi důkaz sporem .

hanusova19 · 21. 05. 2012 15:07

Děkuju

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2012 14:12

logaritmická funkce

#2 10. 05. 2012 14:28

Re: logaritmická funkce

#3 10. 05. 2012 14:52

Re: logaritmická funkce

#4 10. 05. 2012 15:02

Re: logaritmická funkce

#5 10. 05. 2012 15:04 — Editoval gogy27 (10. 05. 2012 15:06)

Re: logaritmická funkce

#6 10. 05. 2012 15:16

Re: logaritmická funkce

#7 10. 05. 2012 15:37 — Editoval Rumburak (14. 05. 2012 09:53)

Re: logaritmická funkce

#8 10. 05. 2012 15:37 Příspěvek uživatele gogy27 byl skryt uživatelem gogy27. Důvod: Rumburak už vysvetľuje :)

#9 11. 05. 2012 18:12

Re: logaritmická funkce

#10 11. 05. 2012 21:06

Re: logaritmická funkce

#11 11. 05. 2012 21:10

Re: logaritmická funkce

hanusova19 napsal(a):

#12 21. 05. 2012 11:03

Re: logaritmická funkce

#13 21. 05. 2012 11:17

Re: logaritmická funkce

#14 21. 05. 2012 11:35 — Editoval Rumburak (21. 05. 2012 11:37)

Re: logaritmická funkce

#15 21. 05. 2012 15:07

Re: logaritmická funkce

Zápatí