Matematické Fórum

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Zdravím,
nedávno jsem řešila jak zapsat $cos^{6}x$ jako LK funkcí sinkx a coskx. Dostala jsem radu a rozložila to pomocí vzorce $cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta ))$ , což (ještě jednou díky:) ) sice přineslo správný výsledek, ale profesor, který příklad zadal vyžaduje řešení pomocí komplexních čísel?

Dostalo se mi pomoci v ukázce takovéhoto řešení, kde vůbec nevím, co se vlastně děje, doufám, že to má co do činění s komplexními čísly (exponenciální tvar??), jen bych to potřebovala osvětlit.

$cos^{6}x= (\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^{6}=$
$\frac{e^{6ix}+6e^{4ix}+15e^{2ix}+20+15e^{-2ix}+6e^{-4ix}+e^{-6ix}}{64}$
$=\frac{1}{32}(cos6x + 6cos4x+15cos2x+10)$

Tváří se to jako něco z binomické věty, to tam vidím. Chápu, že to co vyšlo v druhém řádku se pak nějak lépe uspořádá, něco se povytýká a převede zpět. Ale nerozumím tomu asi zásadnímu, přechodu mezi kosinem a tvarem s éčky? Pomůžete mi prosím někdo, třeba i nějaký odkaz, dostuduju to, ale vlastně nevím pořádně co. Má to vůbec něco společného s komplexními čísly:)?

Bati · 13. 05. 2012 22:08

Ahoj, způsobů jak požadovaný vztah odvodit je několik. Znáš Taylorovy rozvoje?

Dalsi Uzivatelske Jmeno

Ahoj, bohužel ne. Jsem vybavená znalostmi získanými na průměrné střední škole:(. Od někoho dalšího se mi dostalo vysvětlení, že jde prostě o vzorec? Asi nemusím mít nějaký hodně hluboký vhled, ale zas to nechci tupě opsat, aniž bych měla tušení, jak se to třeba jen převádí.

Tváří se to, že vždycky záleží na tom exponentu, podle toho mám pak i argument u toho cosinu, že prostě třeba $\frac{e^{5ix}+e^{-5ix}}{2}=cos5x$

A to je ono? Nejspíš je něco takového i pro sinus, nebo ne?

Bati · 14. 05. 2012 22:30

No je pravda, že jako vzorec se na některých středních školách učí eulerův tvar komplexního čísla, z kterého se to pak dá celkem snadno odvodit. Platí totiž : $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ , což se nedá nijak odvodit pomocí středoškolské matematiky a bere se to tedy jako fakt. S použitím tohoto, sudosti kosinu, lichosti sinu se dají všechny ty vzorce pro násobný úhel snadno dokázat.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 14. 05. 2012 22:58

Našla jsem ty vzorce pro cosinus a sinus na netu, asi zatím zůstanu u toho, že je to fakt:). Děkuji všem zúčastněným:).

Bati · 14. 05. 2012 23:13

No, pokud dobře vidím, zúčastnil jsem se pouze já :-) Jinak jak jsem psal, všechny ty vzorce se dají z toho eulerova tvaru odvodit, např. :

$\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}2=\frac{\cos{kx}+i\sin{kx}+\cos{-kx}+i\sin{-kx}}2=\frac{\cos{kx}+i\sin{kx}+\cos{kx}-i\sin{kx}}2=\cos{kx}$

Pro sinus by tam na začátku akorát byl minus.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 15. 05. 2012 21:13

Má cenu zkoušet to pochopit, když ani nedovedu spočítat účastníky diskuze?:D. Zkusím se nad tím ještě zamyslet, dnes se mi dostalo dalšího odůvodnění, tak je zkusím oba nějak zpracovat. Ještě jednou díky:).

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2012 21:03 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (13. 05. 2012 21:03)

Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#2 13. 05. 2012 22:08

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#3 14. 05. 2012 20:08 — Editoval Dalsi Uzivatelske Jmeno (14. 05. 2012 20:56)

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#4 14. 05. 2012 22:30

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#5 14. 05. 2012 22:58

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#6 14. 05. 2012 23:13

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

#7 15. 05. 2012 21:13

Re: Lineární kombinace goniometrické funkce + asi komplexní čísla

Zápatí