Matematické Fórum

Taps · 14. 05. 2012 09:35 — Editoval Taps (14. 05. 2012 09:36)

Zdravím, mám níže uvedené zadání

a potřeboval bych vysvětlit proč je první integrál $2*\int_{0}^{\prod_{}^{}/2}$
a není to $2*\int_{0}^{2\prod_{}^{}}$

Rumburak

↑ Taps:

Zdravím taktéž. Je potřeba si uvědomit, jaká substituce byla použita. Já bych použil

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

V zadání je doporučeno použít symetrii tělesa (podle roviny y = 0).
Fubiniova věta ale není použita správně - autor výpočtu na to šel až příliš rychle :-) .

EDIT. ... a nebo je to jen ne příliš vhodně zapsáno (?)

Taps · 14. 05. 2012 14:26

↑ Rumburak:
ano subsituce za x a y je tak jak píšeš. Nejde mi tak o postup jen spíše o to stanovení těch mezí. Tady jsem vložil jen tu část kterou potřebuji vysvětlit.

Rumburak · 14. 05. 2012 14:42

↑ Taps:

Pomocí obrázku vidíme, že je vhodné volit $\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ . Symetrie převede $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ na $2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ .

Taps · 14. 05. 2012 15:40

Proč se u integrálu počítá jen v mezích 90° ?

Rumburak · 14. 05. 2012 15:50

↑ Taps:
Když v červeně vyšrafované množině na Tvém obrázku, přes kterou se integruje, zvolíme bod X[x, y] a vyjádříme ho
v polárních souřednicích $x = \rho \cos \varphi, y = \rho \sin \varphi$ , bude $\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ .

Taps · 14. 05. 2012 16:19

↑ Rumburak:
Díky moc, můžeš mi prosím ještě napsat jak se převádí ta symetrie, zmínil jsi to v http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=285835#p285818

Rumburak · 14. 05. 2012 16:32

↑ Taps:
To těleso "rozřízneme napůl" zmíněnou rovinou, vybereme si jednu půlku, její objem vypočteme a vynásobíme dvěma, tím získáme objem
celého tětesa. Ono "rozříznutí" se projeví mezemi pro úhel $\varphi$ :

pro $y > 0$ dostaneme $\varphi \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right)$ ,
pro $y < 0$ dostaneme $\varphi \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0 \right)$ .