Matematické Fórum

Boris008

Dobrý večer, potřeboval bych pomoct s jedním příkladkem. Tady je: . Popravdě řečeno jsem se zasekl už na začátku a nevím jak s tím pohnout. Jak čitatel tak jmenovatel jsem rozšířil o (1+i), pak roznásobil, takže v čitateli vyšlo 1+i+i*(sqr3)+sqr3 a ve jmenovateli 2. Ale už tímto postupem si nejsem jistý, tak se chci zeptat :-) Díky moc

Pavel Brožek · 07. 11. 2008 23:08

Zkus udělat mocninu původního čitatele a jmenovatele zvláš?. Pomohlo?

Boris008 · 07. 11. 2008 23:17

Já myslel, že si nejdřiv musím upravit to z na nějaký přijatelnější tvar a potom až dělat mocninu, ne? Vyšlo mi : $z=\frac{1+\sqrt{3}+i+i\sqrt{3}}{2}$ . Asi špatně co?:-)

Boris008

Zkusil jsem to teda umocnit tou 20kou (zvláš? čitatele a jmenovatele) a vyšlo mi $\frac{1+20i\sqrt{3}+\sqrt{3}}{20i}$ , ale nevím jestli je to dobře:-(

Pavel Brožek

To asi není dobře. Čitatel má velikost 2 a úhel pi/6, takže jeho 20-tá mocnina bude mít velikost 2^20 a úhel 10/3pi, tj. 4/3pi. Jmenovatele stačí umocnit na druhou, pak zase na druhou (tím máme na čtvrtou) a pak na pátou, což je velmi jednoduché.

Boris008 · 08. 11. 2008 13:45

Teď lehce nechápu..jak mám přijít na to, že čitatel má velikost 2? To pi/6 chapu..to je z te odmocniny..ale zase pak nechápu ten úhel 10/3 pi a 4/3pi..kde se tohle vzalo je mi záhadou:-) A taky mi není jasné proč se ten jmenovatel umocňuje takhle postupně..no abych to shrnul, tak mi není vlastně jasné nic:-) Jsem to ale kopyto co?:-)

lukaszh · 08. 11. 2008 14:10

Navrhnem dos? zložitý postup, cez použitie moivreovej vety a goniometrického tvaru komplexného čísla. No treba k nemu kalkulačku :-)
Najprv upravím komplexné číslo z na prijateľný tvar:
$z=\frac{1+\textrm{i}\sqrt{3}}{1-\textrm{i}}\cdot\frac{1+\textrm{i}}{1+\textrm{i}}=\frac{1+\textrm{i}+\textrm{i}\sqrt{3}+\textrm{i}^2\sqrt{3}}{1-\textrm{i}^2}=\frac{(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i}{2}=\boxed{\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}\textrm{i}}$
Určím to čo treba k zostaveniu goniometrického tvaru a určím uhol phi:
$\Re(z)=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\nl\Im(z)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\nl|z|=\sqrt{(\Re(z))^2+(\Im(z))^2}=\sqrt{$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$^2+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$^2}=\sqrt{2}\nl\sin\phi=\frac{\Im(z)}{|z|}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad\phi=\pi-\arcsin$\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=\frac{7\pi}{12}$
Tieto vz?ahy vidno z obrázka, stačí len načrtnú?. Zistíš, že komplexné číslo leží v druhom kvadrante. Preto jeho uhol bude väčší ako pi/2. Preto najprv vypočítam sínus toho uhla a potom jeho veľkos? odčítam od 180 stupňov čo je pi.
Dostanem goniometrický tvar a stačí už len použi? moivreovu vetu:
$z=\sqrt{2}$\cos\frac{7\pi}{12}+\textrm{i}\sin\frac{7\pi}{12}$\nl w=\sqrt{2^{20}}$\cos\frac{20\cdot7\cdot\pi}{12}+\textrm{i}\sin\frac{20\cdot7\cdot\pi}{12}$=1\,024$\cos\frac{35\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{35\pi}{3}$=1\,024$\cos\frac{3\cdot11\pi+2\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{3\cdot11\pi+2\pi}{3}$=\nl=1\,024\[\cos$11\pi+\frac{2\pi}{3}$+\textrm{i}\sin$11\pi+\frac{2\pi}{3}$\]=1\,024\[\cos$\pi+\frac{2\pi}{3}$+\textrm{i}\sin$\pi+\frac{2\pi}{3}$\]=1\,024$\cos\frac{5\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{5\pi}{3}$=\nl=1\,024$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\textrm{i}$=\boxed{512-512\cdot\sqrt{3}\textrm{i}}$
Podobne by sa vypočítala aj tá odmocnina, s využitím predchádzajúceho postupu. No je to taký zdĺhavý postup.

Pavel Brožek

Promiň, v noci jsem byl líný to rozepsat pořádně, mam tam i chybu :-) Takhle jsem to myslel:

$$\frac{1+\textrm{i}\sqrt3}{1-\textrm{i}}$^{20}=$\frac{2(\cos\frac{\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{\pi}{3})}{1-\textrm{i}}$^{20}=\frac{2^{20}(\cos\frac{\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{\pi}{3})^{20}}{(1-\textrm{i})^{20}}=\frac{2^{20}(\cos\frac{20\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{20\pi}{3})}{$(1-\textrm{i})\cdot(1-\textrm{i})$^{10}}=\frac{2^{20}(\cos\frac{2\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{2\pi}{3})}{(-2\textrm{i})^{10}}=\nl =\frac{2^{20}(-\frac12+\textrm{i}\frac{\sqrt3}{2})}{(-4)^{5}}=\frac{2^{19}(-1+\textrm{i}\sqrt3)}{-2^{10}}=-2^9(-1+\textrm{i}\sqrt3)=512(1-\textrm{i}\sqrt3)$

Možná ještě jednodušeji by to šlo takto:

$$\frac{1+\textrm{i}\sqrt3}{1-\textrm{i}}$^{20}=$\frac{2(\cos\frac{\pi}{3}+\textrm{i}\sin\frac{\pi}{3})}{\sqrt2(\cos\frac{7\pi}{4}+\textrm{i}\sin\frac{7\pi}{4})}$^{20}=$\sqrt2\(\cos\(\frac{\pi}{3}-\frac{7\pi}{4}$+\textrm{i}\sin$\frac{\pi}{3}-\frac{7\pi}{4}$\)\)^{20}=2^{10}$\cos\(-\frac{17\pi}{12}$+\textrm{i}\sin$-\frac{17\pi}{12}$\)^{20}=\nl =2^{10}$\cos\(\frac{7\pi}{12}$+\textrm{i}\sin$\frac{7\pi}{12}$\)^{20}=2^{10}$\cos\(\frac{140\pi}{12}$+\textrm{i}\sin$\frac{140\pi}{12}$\)=\ldots$

Pavel Brožek · 08. 11. 2008 14:27

↑ lukaszh:↑ Boris008:

Odmocnina se spočte také Moivrovou větou, ale pozor, není to jednoznačná funkce.

Boris008

Ahoj, takže umocnění jsem pochopil podle lukaszhova návodu a hned podle něho udělal i odmocnění. Pak jsem si našel v knížce vzoreček na odmocňování: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}.(cos\frac({\phi+2k\pi})/({n})+i sin\frac({\phi+2k\pi})/({n}))$ Takže za n jsem dosadil 3 a za k jsem dosadil postupně 0, 1, 2. Tím pádem mi vyšly výsledky: $-\sqrt[3]{1024}, \sqrt[3]{1024}, \sqrt[3]{1024}.(1+i)$ Doufám že to je dobře, jestli si nějaká dobrá duše najde chvilku času a zkusí aspoň jeden výsledek propočítat, budu rád. Jinak moc děkuju lidem z fóra, že mi pomohli. Je super že tohle fórum existuje!:-)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2008 22:27 — Editoval Boris008 (07. 11. 2008 22:29)

Komplexní číslo s odmocninou

#2 07. 11. 2008 23:08

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#3 07. 11. 2008 23:17

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#4 07. 11. 2008 23:28 — Editoval Boris008 (07. 11. 2008 23:29)

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#5 08. 11. 2008 01:12 — Editoval BrozekP (08. 11. 2008 01:13)

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#6 08. 11. 2008 13:45

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#7 08. 11. 2008 14:10

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#8 08. 11. 2008 14:17 — Editoval BrozekP (08. 11. 2008 14:26)

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#9 08. 11. 2008 14:27

Re: Komplexní číslo s odmocninou

#10 08. 11. 2008 20:04 — Editoval Boris008 (08. 11. 2008 20:09)

Re: Komplexní číslo s odmocninou

Zápatí