Matematické Fórum

W.e.r.c · 15. 05. 2012 19:08

ahoj, můžete mi prosím někdo pomoct s výpočtem? upravila sme si to na čtverec,ale nvm jakou subsituci dát a jak s tím dál počítat...

Takjo · 15. 05. 2012 19:33

↑ W.e.r.c:
Dobrý večer,
jmenovatel má záporný diskriminant, je tedy nerozložitelný.
Použijeme rozklad na parciální zlomky takto:
$\frac{x}{x^{2}+3x+3}=\frac{A\cdot (2x+3)}{x^{2}+3x+3}+\frac{B}{x^{2}+3x+3}$
Úpravou a následně porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin dostanete: $A=\frac{1}{2}$ a $B=-\frac{3}{2}$
Takže $\int_{}^{}\frac{x}{x^{2}+3x+3}dx=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x+3}{x^{2}+3x+3}dx-\frac{3}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{x^{2}+3x+3}$
První integrál vede na logaritmus jmenovatele a druhý na arkustangens (úpravou jmenovatele na čtverec a potom použitím vhodné substituce).

W.e.r.c · 15. 05. 2012 19:37

↑ Takjo: proč je nahoře u parciálních zlomků 2x+3? my jsme se učili rozklad jinak....nešel by ten příklad řešit hned vhodnou substitucí?

Takjo · 15. 05. 2012 19:51

↑ W.e.r.c:
Dobrý večer,
v prvním integrálu je v rozkladu v čitateli přímo zadaná derivace jmenovatele (úpravy jsou pak jednodušší),
takže $\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x+3}{x^{2}+3x+3}dx=\frac{1}{2}ln|x^{2}+3x+3|$

W.e.r.c · 15. 05. 2012 19:56

↑ Takjo: to si tam jentak hodím 2x+3? neumím takový rozklad....

Takjo · 15. 05. 2012 20:32

↑ W.e.r.c:
Dobrý večer,
pokud vám tento postup nic neříká, řešte to svou metodou rozkladu. Dostaneme se určitě ke stejnému výsledku... :)

W.e.r.c · 15. 05. 2012 20:38

↑ Takjo: já bych právě potřebovala poradit s tou substitucí...napadla mě $x-\frac{3}{2}=t*\sqrt{\frac{3}{2}}$ ale to si pak zas nvm rady s čitatelem..:/

Takjo · 15. 05. 2012 21:10

↑ W.e.r.c:
Dobrý večer,
nevím jak jste přišla na $x-\frac{3}{2}=t*\sqrt{\frac{3}{2}}$ .
Jak jste upravila jmenovatel na čtverec?

W.e.r.c · 15. 05. 2012 21:17

upravila jsem to na čtverec $(x-\frac{3}{2})\wedge 2+\frac{3}{4}$

Takjo · 15. 05. 2012 22:46

↑ W.e.r.c:
Myslím, že správně je toto: $(x+\frac{3}{2})\wedge 2+\frac{3}{4}$ .

Takže zkusme upravovat:
$\int_{}^{}\frac{x}{x^{2}+3x+3}dx=\int_{}^{}\frac{x}{(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}}dx=\frac{1}{\frac{3}{4}}\int_{}^{}\frac{x}{\frac{(\frac{2x+3}{2})^{2}}{\frac{3}{4}}{}{}+1}dx=$
$=\frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{x}{(\frac{\frac{2x+3}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}{}{}})^{2}+1}dx=\frac{4}{3}\int_{}^{}\frac{x}{(\frac{{2x+3}{}}{\sqrt{3}})^{2}+1}dx$

Substituce: $t=\frac{2x+3}{\sqrt{3}}$ $dt=\frac{2}{\sqrt{3}}dx$ $dx=\frac{\sqrt{3}}{2}dt$
$\sqrt{3}\cdot t={2x+3}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}\cdot t-3}{2}$

A po dosazení: $\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \int_{}^{}\frac{\frac{\sqrt{3}\cdot t-3}{2}}{t^{2}+1}dt=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \int_{}^{}\frac{\sqrt{3}\cdot t-3}{t^{2}+1}dt=$
$=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \int_{}^{}\frac{t}{t^{2}+1}dt-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3\cdot \int_{}^{}\frac{dt}{t^{2}+1}=\frac{{1}}{2}\cdot \int_{}^{}\frac{2t}{t^{2}+1}dt-\sqrt{3}\cdot \int_{}^{}\frac{dt}{t^{2}+1}=$
$=\frac{{1}}{2}\cdot \ln |t^2+1|-\sqrt{3}\cdot arctg(t)=$ a zbytek je na vás... :)