Matematické Fórum

UnionPacific · 16. 05. 2012 20:55

Zdravím.
NIektoré matematické historky sú strašne známe,určite poznáte tú o tom,ako Hilbert vyriešil problém konečnosti systému invariantov a mal porblém svoj dôkaz obhájiť,kedže bol nekonštruktívny.No a o to ide:
ČO je to teória invariantov? Na nete som našiel veci,ktoré presahujú moje chápanie,bol by som rád,keby som dostal nejaký príklad,že o čom to je,kde sa to využíva,kde to v matematike patrí a pod.

vanok · 17. 05. 2012 13:27

Ahoj ↑ UnionPacific:,
Napriklad vo velmi znamej knihe Engel: Problem-Solving Strategies, Mas prvu kapitolu na tuto temu.

UnionPacific · 17. 05. 2012 13:46

↑ vanok:

A nemohol by si mi uviesť ty jednoducjy priklad? no naozaj nema čas teraz zhanať nejaku knihu a asi sotva by som ju pochopil,kedže jedin čo z matematiky viem,je trocha derivovať a integrpovať.

vanok · 17. 05. 2012 14:13

tak tu mas prvy priklad z Engel-a vo volnom preklade:
Je dany bod S=(a; b) v rovine taky, ze 0 < b < a
Generume postunosti bodov $(x_n; y_n)$ kde
$x_0=a; y_0=b$
$x_{n+1}= \frac {x_n+y_n} 2$
$y_{n+1}=\frac {2x_ny_n}{x_n+y_n}$

INVARIANT ( = nemeniaci vyraz) tu je $x_ny_n$
lebo je to vyraz nezavisly na n

Skutocne: mame $x_ny_n= x_{n+1}y_{n+1}$

....

Tu knihu ti doporucujem ozaj... naucis sa tam vela a aj o inych temach... RADA: mozes poziadas v kniznici kde chodis aby ju odjednali.

UnionPacific · 17. 05. 2012 14:15

↑ vanok:

A toto sa kde v matematike alebo fyzike využiva? Nie je to len "teória pre teóriu?"

vanok · 17. 05. 2012 14:31

prave to sa da pouzit v danom priklade na studium tych postupnosti
A odpovzed najdes napr v knihe co som ti poradil
Ozaj nema zmysel davat priklady z knih, co su ozaj dobre urobene.

mozno aj na books.google.com najdejdes aspon ukazky z tej knihy

UnionPacific · 17. 05. 2012 14:38

↑ vanok:

Je teória invariantov sučasťou zakladneho kurz matematiky na vysokých školách či je to niečo špecializovane,s čim sa ani matematik nealgebraik nikdy nestretne?

vanok · 17. 05. 2012 15:30

Nepoznam prednasku specializovanu na tuto temu. Ale su temy v ktorych moze byt uzitocna.
Co studujes?
Podla toho, ak najdem nejaku temu, co sa tyka tvojho studia, napisaem ty podrobnejsie o tom.

UnionPacific · 17. 05. 2012 19:03

↑ vanok:

Neštudujem ani matematiku,ani fyziku....ale elektroniku.A z matematiky a fyziky som neskutočne sprostý.O matiku sa zaujímam,v súšasnej dobe lúskam Jarníka..som taký samouk....horko ťažko sa prebojuvávam cez hustú epsilon-delta teóriu.....ale napr. som sa chcel venovať súčasne z analýzou aj algebre a tam som nepochodil.Proste nech som študoval ako som študoval,nepochopil som ničomu.Študoval som z knihy Algebra -ladislav Bican a sám neviem či je to tým,že kniha je dosť nahustená alebo ja som sprostý ako delo.

vanok · 17. 05. 2012 23:02

↑ UnionPacific:
no ak nemas dostatocne zaklady, skus najst nieco jednoduchsie na zaciatok.
Priliz teoreticke knihy ta skor znechutia.

Tak vela uspechov.

UnionPacific · 18. 05. 2012 01:16

↑ vanok:
No sranda je to,že práve tie knihy,čo ne,môžem pochopiť,su tým základom.

Rumburak

↑ UnionPacific:

Ahoj.

Ono je dobré, když věci, které Ti nejsou jasné, Ti může vysvětlit někdo, kdo jim rozumí, a bude umět při výkladu navázat na úroveň Tvých dosavadních
znalostí. Pokud jde o lineární algebru: Bicanova skripta neznám, ale nedávno jsem na webu narazil na jakási skripta od Vladimíra Součka zaměřená
pro studenty fyziky, v nichž jsou základy lineární algebry vyloženy podle mého názoru dosti přístupně. Pokusím se je znovu najít a dám sem pak odkaz.
Zaznamenal jsem i pochvalu od studentů na skripta z lin. algebry od Libuše Teskové z plzeňské university.

Jarník D1, I1 jsou výborné učebnice a určitě Ti pomohou. Vždy studuj "písemně", tj. své úvahy si co nejpečlivěji zapisuj v matematické symbolice
(aby sis na ni zvykl). Zaměř se na důkazy vět a vracej se k nim, dokud je nebudeš zvládat zcela suverenně. Nejdůležitější je pochopit, o co v matematice
jde. Technici mají tendenci matematiku příliš spojovat s praxí - kladou otázky jako "k čemu je v praxi užitečná kvocientní grupa" a podobně. Podle jiného
hlediska (vysloveného mnohými mými učiteli) matematika je především hra se symboly a pojmy podle přesných pravidel - a že se občas něco z toho dá
využít i bezprostředně v praxi, toť druhá věc. "Matematika je důkladná příprava na situace, které nikdy nenastanou" - citát jiného mého učitele prof. Goralčíka.
Pečlivým studiem tuto hru a její pravidla začneš chápat a tím se dostaneš na pevnou půdu.

A jaké studijní meteriály nabízí resp. doporučuje Tvoje fakulta ? Jistě i Tví učitelé by uměli poradit - využívej konsultační hodiny, dobrý učitel je ochotný
pomoci studentovi, který má o jeho předmět zájem.

Když pří studiu "rozumných" materiálů narazíš na nějakou teoretickou otázku, dej ji do fora a jistě se najde někdo, kdo Ti bude umět odpovědět.
Ta teorie invariantů je opravdu jen specialitou pro úzký okruh teoreticky zaměřených odborníků "nejvyšší třídy" a Tobě k ničemu nebude - určitě ne
v nejbližší době. Podobně jako kolega Vanok ani já jsem nezažil, že by se (na MFF v Praze) vyučovala.

Rumburak · 18. 05. 2012 11:10

Slíbený odkaz na materiály ke stažení od prof. Součka .

UnionPacific · 18. 05. 2012 15:40

↑ Rumburak:

Ahoj.dakujem za inšpiiratívny komentár.ČO sa týka odporučanej literatury u nas na fakulte,tak na tech. fakulte su odporučane skriptá pz matematiky pre technikov,čo znamená,že polovica viet je nedokazana a látka je velmi zriedena...a kedže ja chcem z matematiky vedieť viac,tak som sa rozhodol ju študovať z kvalitnej literatury a najdostupejšou je Jarník DI1 a IP1....

Jedna vec by ma zaujimala: Zakupil som si skriptá ladislav Bican-Algebra,ale nedokažem ich pochopiť a neviem,či je to mojou neschopnosťou alebo su tie skripta napisane akosi priliš stručne.neviem to sám posúdiť.Zaujimal by ma tvoj nazor na nich,mohol by si sa do nich pozrieť a porovnať ich z njejakymi inymi skriptami,či su naozaj tal zložité,alebo len ja som blbý.Link:
http://www.ulozto.cz/xvnWH1P/bican-ladi … metrie-pdf

Zastvail som sa hned v uvode na konštrukcii konečnych telies polynomov a dôkaze vety,ktora hovori,že linearny obal množiny je množina vš. lin kombinacii prvkov množiny

Rumburak

↑ UnionPacific:
Ahoj,

na ta skripta se příležitostně podívám (na stažení asi bude potřeba vyhradit si nějaký čas), ale je-li hned na začátku pojednáváno o "konečném
tělese polynomů" (marně si vybavuji, co to vůbec je), pak je tím naznačeno, že nejde o skripta pro začátečníky, ale o skripta vyžadující už určité
pokročilejší znalosti z algebry, které se i na MFF vyučují až později. Příslušnou partii klidně zatím ignoruj, v lineární algebře sice může být zdrojem
zajímavých příkladů k procvičování, ale vlastní teorie LA, přinejmenším co se týče jejích základů, jde jinudy.

Ale ten důkaz věty, že "linearny obal množiny je množina vš. lin kombinacii prvkov množiny" , se snaž pochopit, ten do LA patří . Záleží na tom,
jak je lineární obal množiny M definovám (patrně jako průnik všech lin. prostorů nad daným tělesem, které množinu M obsahují) a na tom, jak je
důkaz podán. V pricipu jde o to, že jsou-li u1, ..., un prvky množiny M , L(u1, ..., un) jejich lin. kombinace a W libovolný lin. prostor nad daným
tělesem, který ovšem obsahuje množinu M, pak L(u1, ..., un) patří do W (dokazuje se indukcí z axiomů lin. prostoru). Takže L(u1, ..., un) leží
v každém takovém (množinu M obsahujícím) prostoru W, tedy i v průniku všech takových prostorů W a tedy v lin. obalu množiny M. Tím máme
dokázánu jednu inklusi. Opačná inkluse plyne z faktu, že průnik všech takových prosrtorů W je jedním z těchto prostorů W.

EDIT. To, co je červeně, je špatně. Nikdy by mne dříve nenapadlo, že po požití pouhých čtyř deci červeného budu schopen napsat takovýto blábol
jako v předchozím odstavci - omlouvám se. Opravit potřebuje především moje "definice" lineárního obalu množiny M. Správná definice je následující:

Mějme množinu M, která je částí jistého lineárního prostoru V, a označme S množinu všech PODPROSTORŮ prostoru V, které zároveň obsahují
množimu M. (Takový podprostor prostoru V existuje přinejmeším jeden, a sice sám prostor V, takže množina S je neprázdná.) Potom Lin(M)
(tak se někdy lineární obal množiny M značí) je definován jako průnik všech W patřících do S. Existuje věta, která říká, že průnik libovolného
neprázdného systému podprostorů daného lin. prostoru X je rovněž podprostorem tohoto prostoru X. Podle této věty je tedy Lin(M) podprostorem
ve V.

K důkazu tvrzení, že Lin(M) je množinou všech lineárních kombinací sestavených z prvků množiny M :

Ponechme v platnosti označení z předchozí definice.
V pricipu jde o to, že jsou-li u1, ..., un prvky množiny M , L(u1, ..., un) jejich lin. kombinace a W libovolný prvek množiny S (tedy W je podprostor
ve V takový, že zároveň obsahuje množinu M) , pak L(u1, ..., un) patří do W (dokazuje se indukcí z axiomů lin. prostoru). Takže L(u1, ..., un)
leží v každém W patřícím do S a tedy i v průniku všech W patřících do S a tedy v lin. obalu množiny M. Tím máme dokázánu jednu inklusi.
Opačná inkluse plyne z faktu, že množna všech lin. kombinací vytvořených z prvků množiny M je podprostorem ve V a obsahuje množinu M,
tedy patří do S.

Zkus si tyto myšlenky podrobně rozmyslet a porovnej to s tím důkazem z Bicana - pochybuji, že by na to šel jinak , i když kdo ví ?

Stýv · 18. 05. 2012 16:43

↑ Rumburak: jenom poznámka - podle týhle učebnice nás lingebru v prváku učili (jednu paralelku učil sám bican)

Rumburak · 19. 05. 2012 09:58

Opravil jsem chyby v příspěvku ↑ Rumburak:.

↑ Stýv:
Děkuji za info. Ono je asi něco jiného, když vyučující látku přednáší a obtížnější partie podrobněji vysvětlí (s možností, že případné další nejasnosti
budou dořešeny na cvičeních), než když je začátečník odkázán převážně na samostudium z literatury, což je patrně kolegův případ.

Rumburak · 19. 05. 2012 11:28

↑ UnionPacific:

Do těch Bicanových skript jsem se díval a souhlasím s názorem, že pro "začínjícího samouka" :-) jsou poněkud náročná.
Z kapitoly 0 resp. 16 budeš pro začátek potřebovet vědět jen co je to těleso (komutativní) obecně a že tělesy jsou
množina všech reálných čísel, množina všech komplexních čísel, množina všech racionálních čísel - další příklady těles
v hlavním výkladu potřevovat nebudeš. Nosné myšlenky důkazů vět by leckde mohly být rozepsány podrobněji ...

Nejprve je třeba pochopit teorii vektorového (neboli lineárního) prostoru, její základy se däjí nastudovat i z lehčích zdrojů (Souček ?)
a to Ti na nějakou dobu vystačí. Teprve pak bych se vrátil k Bicanovým skriptům pro důkladnější znalosti.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2012 20:55

Teória invariantov

#2 17. 05. 2012 13:27

Re: Teória invariantov

#3 17. 05. 2012 13:46

Re: Teória invariantov

#4 17. 05. 2012 14:13

Re: Teória invariantov

#5 17. 05. 2012 14:15

Re: Teória invariantov

#6 17. 05. 2012 14:31

Re: Teória invariantov

#7 17. 05. 2012 14:38

Re: Teória invariantov

#8 17. 05. 2012 15:30

Re: Teória invariantov

#9 17. 05. 2012 19:03

Re: Teória invariantov

#10 17. 05. 2012 23:02

Re: Teória invariantov

#11 18. 05. 2012 01:16

Re: Teória invariantov

#12 18. 05. 2012 10:05 — Editoval Rumburak (18. 05. 2012 10:59)

Re: Teória invariantov

#13 18. 05. 2012 11:10

Re: Teória invariantov

#14 18. 05. 2012 15:40

Re: Teória invariantov

#15 18. 05. 2012 16:24 — Editoval Rumburak (19. 05. 2012 13:00)

Re: Teória invariantov

#16 18. 05. 2012 16:43

Re: Teória invariantov

#17 19. 05. 2012 09:58

Re: Teória invariantov

#18 19. 05. 2012 11:28

Re: Teória invariantov

Zápatí