Matematické Fórum

Ilhvm · 20. 05. 2012 14:14

Zdravím, mám za úkol vypočítat pomocí matice soustavu rovnic.
-2x + 2y - 3z = 1
x - y + 2z = 2
-x + y - z = 5

Po úpravení mi vyšla matice:
1 -1 2 | 2
0 0 1 | 5
0 0 1 | 7

Mělo by to být dobře, soustava by měla mít jedno řešení, trošku ale nechápu poslední 2 řádky, jelikož tam vyšlo 2x z a ještě s jinými hodnotami.

Děkuji moc za jakoukoliv pomoc.

Sulfan · 20. 05. 2012 15:03 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 15:03)

Ahoj,
to asi nebude mít řešení - buď pokračuj v úpravě na schodový tvar, nebo pokud si to opět z maticového zápisu přepíšeš do rovnic vznikne soustava:

$x-y+2z=2$
$z=5$
$z=7$

Může mít taková soustava řešení?

Ilhvm · 20. 05. 2012 15:19

Právě že bych řekla že nemůže, ale četla jsem, že pokud je hodnost matice rovná počtu neznámých, pak má právě jedno řešení. V tomhle případě hodnost je 3 a počet neznámých taktéž.

LukasM · 20. 05. 2012 15:50

↑ Ilhvm:
Hodnost matice homogenní soustavy je 2, hodnost matice nehomogenní soustavy je 3. Z Frobeniovy věty vyplývá neexistence řešení.

Ilhvm · 20. 05. 2012 15:56

↑ LukasM: Aha, tak to jsem teda špatně pochopila určování hodnosti. Můžu se ještě zeptat jak se přišlo na tu hodnost 2? Myslela jsem, že hodnost matice se určuje počtem řádků, které obsahují všude 0.

Sulfan · 20. 05. 2012 18:26

↑ Ilhvm: Ano, ale musíš rozlišovat matici soustavy a rozšířenou matici soustavy. Navíc jsi tu matici neupravila do konce, vypadalo by to následovně:

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 &| 1 \\ 0 & 0 & 1 &| 5 \\ 0 & 0 & 1 &| 7 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 &| 1 \\ 0 & 0 & 1 &| 5 \\ 0 & 0 & 0 &| 2 \end{pmatrix}$
$h \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2$

$h \begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=3$

Jak píše ↑ LukasM:, dle Frobeniovy věty neexistuje žádné řešení.

Ilhvm · 21. 05. 2012 11:58

↑ Sulfan: Jo takhle, tak to bylo tím, že jsem ji neupravila až dokonce, tak jo děkuji moc :)

Honzc · 21. 05. 2012 12:34

↑ Ilhvm:
Nebo jinak.
Když od třetí rovnice odečteš druhou dostaneš -2x+2y-3z=3
První rovnice je -2x+2y-3z=1
Jak vidíš tyto dvě rovnice mají stejné levé strany, ale rozdílné pravé strany.
Pak taková soustava nemá řešení.
Poznámka.
Pokud by obě rovnice měly i stejné pravé strany, pak by bylo řešení nekonečně mnoho.

Ilhvm · 21. 05. 2012 13:49

↑ Honzc: Jasně jasně, to už chápu potom :)

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2012 14:14

Řešení soustavy pomocí matice

#2 20. 05. 2012 15:03 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 15:03)

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#3 20. 05. 2012 15:19

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#4 20. 05. 2012 15:50

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#5 20. 05. 2012 15:56

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#6 20. 05. 2012 18:26

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#7 21. 05. 2012 11:58

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#8 21. 05. 2012 12:34

Re: Řešení soustavy pomocí matice

#9 21. 05. 2012 13:49

Re: Řešení soustavy pomocí matice

Zápatí