Matematické Fórum

DalV · 22. 05. 2012 16:14

Zdravím,
mohl by mi někdo z vás popsat postup jak vyřešit tenhle příklad.

(1^n - x^n)
lim _____________
x->1 (1^m - x^m)

Omlouvám se za "prasácky" zápis.
Výsledek je n/m ... ale ani za nic nevím jak se k tomu dopracovat vždy se po jednom, dvou krocích zaseknu.
Předem děkuji za jakoukoliv smysluplnou odpověd.

Stýv · 22. 05. 2012 16:25

stačí použít vzoreček a dál je to triviální

found · 22. 05. 2012 17:28

Také by šlo použít l'Hospitalovo pravidlo,

$\lim_{x\to 1} \frac{1^n-x^n}{1^m-x^m} = \lim_{x\to 1} \frac{-nx^{n-1}}{-mx^{m-1}} = \lim_{x\to 1} \frac{nx^{n-1}}{mx^{m-1}} = \frac{n}{m}$

Pokud by bylo l'Hospitalovo pravidlo zakázáno, pak je dobré napsat si vztah
$(a^n - b^n) = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}).$
Dostaneš tedy
$\frac{1^n-x^n}{1^m-x^m} = \frac{1-x^n}{1-x^m} = \frac{(1-x)(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})}{(1-x)(1+x+x^2+\cdots + x^{m-1})} = \frac{(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})}{(1+x+x^2+\cdots + x^{m-1})}$

No a pokud jde x do jedné, tj. $x\to 1$ , potom všechny členy $x^{cokoliv}$ jsou rovny jedné. Členů s $x$ je tam $n-1$ a navíc je tam $1$ , takže je jich dohromady $n$ . Obdobně pro spodní část a dostáváš tedy opět
$\frac{n}{m}$ .

DalV · 22. 05. 2012 17:35

Děkuji vám za pomoc.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2012 16:14

Limita

#2 22. 05. 2012 16:25

Re: Limita

#3 22. 05. 2012 17:28

Re: Limita

#4 22. 05. 2012 17:35

Re: Limita

Zápatí