Matematické Fórum

mju · 24. 05. 2012 15:33

Dokážte matematickou indukciou, že pre každé číslo n platí:
$1^{2} + 2^{2}+...+(n-1)^{2}+n^{2}= \frac{n}{6} . (n+1) . (2n+1)$
Poprosím o detailne vysvetlenie riešenia, riešenie mám ale absolútne nerozumiem postupu.

Aquabellla · 24. 05. 2012 17:05

↑ mju:

1) Ověříme, zda rovnice platí pro n = 1.
$1^{2} = \frac{1}{6} \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 + 1) = \frac66 = 1$ - platí

2) Předpokládáme, že rovnost platí pro nějaké $n = k$ . Pak platí i pro $n = k + 1$ .

$1^2 + ... + k^2 = \frac{k}{6} \cdot (k + 1) \cdot (2k + 1) => 1^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k + 1}{6} \cdot (k + 2) \cdot (2(k + 1) + 1)$

Všimni si, že jedna část se u obojího opakuje: $1^2 + ... + k^2$
$\color{red}1^2 + ... + k^2 \color{black}= \frac{k}{6} \cdot (k + 1) \cdot (2k + 1) => \color{red}1^2 + ... + k^2 \color{black}+ (k + 1)^2 = \frac{k + 1}{6} \cdot (k + 2) \cdot (2(k + 1) + 1)$
takže z té levé rovnice dosadíme do té druhé:

$\frac{k}{6} \cdot (k + 1) \cdot (2k + 1) + (k + 1)^2 = \frac{k + 1}{6} \cdot (k + 2) \cdot (2(k + 1) + 1)$
Když toto roznásobíš, vyjde 0=0, takže důkaz je hotov.

mju · 24. 05. 2012 17:15

↑ Aquabellla: Ďakujem ja som to mala opísané v zošite z tabule, čo sme písali v škole a mala som to tam inak a nechápala som. teraz už rozumiem a dáva mi to aj zmysel. SUPER :)

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2012 15:33

matematická indukcia

#2 24. 05. 2012 17:05

Re: matematická indukcia

#3 24. 05. 2012 17:15

Re: matematická indukcia

Zápatí