Matematické Fórum

KDPK · 25. 05. 2012 10:25 — Editoval KDPK (25. 05. 2012 10:26)

Ahoj,

chtěla bych poprosit s částí kvadratické rovnice:
Pro které hodnoty parametru m má rovnice dva různé záporné kořeny?

$x^2+2mx+m^2-1=0$

Postupuji tak, že hledám diskriminant $D>0$ . Po dosazení mi vyjde $D=4$ (parametr "se požral" a zcela vypadává).
Zde si už pak nejsem jistá, co přesně z tohoto výsledku vyplývá?

Usuzuji a nevím, zda správně:
1.) $4>0$ z toho plyne, že pro tuto rovnici VŽDY bude diskriminant kladný? Nikdy nebude nulový ani záporný? Rovnice bude mít vždy 2 reálné kořeny?

2.) Vypočítala jsem kořeny $x_1,x_2$ a zjistila, že pro ně platí: $m\in(-1,\infty)$ a $m\in(\infty,1)$ .
Neumím ale s jistotou určit závěr rovnice ve vztahu k D=4.
Znamená to, že $m\in (1;\infty)$ nebo $m\in R$ ?

Potřebovala bych logické vysvětlení, proč se bude rovnice chovat tak či onak? Zamotala jsem se v tom...

Velmi díky!
K.

Hanis · 25. 05. 2012 10:32 — Editoval Hanis (25. 05. 2012 10:40)

Ahoj

Po dosazení do vztahu pro výpočet kvadratické rovnice dostaneme:

$x_{1,2}=\frac{-2m\pm 2}{2}=-m\pm 1$

Hledáme řešení soustavy:

$-m+1<0 \wedge -m-1<0$

Teď musíš zjistit, pro která m tato soustava platí :-)

Je to srozumitelné?

EDIT: A to platí ve tvém intervalu $(1;\infty)$
Na diskriminant nemusíš hledět, v tomto případě je to konstanta...

KDPK · 25. 05. 2012 10:45

↑ Hanis:

Ahoj,

díky za reakci. Sedím ale stále v jiném kině.
Chápu, co jsi napsal a proč.

Vypočítala jsem:
pro $-m-1<0$ že platí $m\in(-1;\infty)$
pro $-m+1<0$ že platí $m\in(1;\infty)$

Netuším, co s tím ve vztahu k diskriminantu, který je D=4. De facto, nevím, jak to zprůnikovat... nebo možná postupuji úplně špatně? Nevím, jak to dotáhnout do závěru...

Díky za trpělivost :-)
k.

LukasM · 25. 05. 2012 11:04

↑ KDPK:
Na diskriminant kašli, ten je vždy 4, nezávisle na m. Pro jakékoli m má tedy rovnice dva reálné kořeny.

Jeden kořen je -m+1, druhý je -m-1. Ty chceš, aby byly oba současně záporné.

KDPK · 25. 05. 2012 11:39

↑ LukasM:

Díky moc.
Trvalo to, ale seplo mi to...
K.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2012 10:25 — Editoval KDPK (25. 05. 2012 10:26)

Kvadratická rovnice s parametrem

#2 25. 05. 2012 10:32 — Editoval Hanis (25. 05. 2012 10:40)

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#3 25. 05. 2012 10:45

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#4 25. 05. 2012 11:04

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

#5 25. 05. 2012 11:39

Re: Kvadratická rovnice s parametrem

Zápatí