Matematické Fórum

honzakuchar

Ahojte,
omlouvám se, že dnes píši již po druhé. Zaseknul jsem se u následující exponenciální rovnice a nevím co dál... Sice jsem ji vyřešil, ale nám pocit, že to musí jít jednodušším způsobem...

$81^{x-1} - 241\cdot 9^{x}= 6\\ 9^{2x-2} - 241\cdot 9^{x}= 6\\ 3^{4x-4} - 241\cdot 3^{2x}= 6$

a teď? Toto sice vyjde, ale ne přesně a není to zbytečně komplikované?

$3^{4x-4} - 241\cdot 3^{2x}= 6 \Rightarrow y = 3^{2x}\\ y^{2}(3^{-4}) - 241y = 6\\ y^{2}(3^{-4}) - 241y -6 = 0\\ D = \sqrt{241^{2} - 4\cdot 3^{-4} \cdot -6} \doteq 241\\ y_{1,2} = \frac{241\pm D}{2\cdot 3^{-4}}\\ y_{1} = 19521\\ y_{2} = 0$

$x_{1} = ?\\ 19521 = 3^{2x}\\ 3^{log_{3}19521} \doteq 3^{2x}\\ x = \frac{log_{3}19521}{2}\\ x_{1} \doteq 4.5$

$x_{2} = ?\\ 0 = 3^{2x}\\ x_{2} = ndef.$

zdenek1 · 27. 05. 2012 07:14

↑ honzakuchar:
O moc jednodušeji to nepůjde ale můžeš
$\frac{1}{81}(9^x)^2-241\cdot9^x-6=0$
a substituce $y=9^x$
$\frac{y^2}{81}-241y-6=0$

žádná "hezká" čísla ale nevyjdou.

Zajímavé je, že kdyby to bylo
$81^{x+1}-241\cdot 9^x=6$
tak to vyjde nádherně.

monika4419 · 27. 05. 2012 11:35

Dobrý den, prosím pomožte!!! :)
1) $log\sqrt{1+x }+3.log\sqrt{1-x}=2+log\sqrt{1-x^{2}}$
2) $25^{x}=0,2^{x^{2}}

jelena · 27. 05. 2012 12:10

↑ monika4419:

Zdravím,

založ si, prosím, vlastní téma (Založit nové téma svítí nahoře na hlavní stránce). A přečti si pravidla. Děkuji.

honzakuchar · 27. 05. 2012 12:22

↑ zdenek1:

Děkuji moc! Propočítávám si příklady k maturitě a nejspíš je tam překlep. Jen jsem chtěl vědět, jestli jsem vedle, nebo ne. :-) Tedy díky moc!

Pravděpodobně jsi myslel $81^{x+1}\textbf{-243}\cdot 9^x=6$ :-)

ono totiž platí že: $\log_{3}243 = 5$ Pak to, pokud se nepletu, vyjde pěkně.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2012 23:32 — Editoval honzakuchar (26. 05. 2012 23:36)

Exponenciální rovnice

#2 27. 05. 2012 07:14

Re: Exponenciální rovnice

#3 27. 05. 2012 11:35

Re: Exponenciální rovnice

#4 27. 05. 2012 12:10

Re: Exponenciální rovnice

#5 27. 05. 2012 12:22

Re: Exponenciální rovnice

Zápatí