Matematické Fórum

Aquabellla · 27. 05. 2012 17:18

Hezké odpoledne.

Nechť $\varphi : U \rightarrow V$ má adjugované zobrazení $\varphi^* : V \rightarrow U$ . Dokažte, že podprostor $\mathrm{Ker} \varphi^*$ je kolmý k podprostoru $\mathrm{Im} \varphi$ .

Vím, že pro adjugované zobrazení platí: $<\varphi(u), v>_V = <u, \varphi^*(v)>_U$ pro $u \in U$ , $v \in V$ , kde U, V jsou vektorové prostory se skalárním součinem.

$\varphi : U \rightarrow V$ je lineární zobrazení. Podprostor $\varphi (U) \subseteq V$ je obraz zobrazení $\varphi$ . Podprostor $\varphi^{-1}(\vec{0}) = \{u \in U, \varphi(u) = \vec{0}\}$ je jádro zobrazení $\varphi$ .

Předem děkuji za každou radu, jak dokázat, že jádro adjugovaného zobrazení je kolmé na obraz zobrazení.

LukasM · 27. 05. 2012 18:08 — Editoval LukasM (27. 05. 2012 18:08)

↑ Aquabellla:
To se mi zdá jako velmi jednoduché. Vezmi si vektor z jádra $x\in ker \varphi^* \Rightarrow \varphi^*x=\Theta$ a vektor $y\in Im\varphi\Rightarrow \exists u\in U: \varphi u=y$ z V.

Pak udělej skalární součin $<x,y>=<x,\varphi u>=\dots$