Matematické Fórum

chipák

Zdravím, řeším tento příklad:

Ortogonalizujte funkce $\{1,t,t^2\}$ na intervalu $I=(0,1)$ .

Nejsem si jistý jak je definovaný skalární součin u funkcí, ale myslím, že takto: $(x(t),y(t))=\int_a^b \! x(t) y(t) \, \mathrm{d} t$
Postupoval jsem podle Gramm-Schmidtova ortogonalizačního algoritmu takto:
$b_1=x_1=1$
$\left\|b_1\right\|=1$
$b_2=x_2-\frac{(x_2,b_1)}{\left\|b_1\right\|^2}\cdot b_1=t-\frac{1}{2}$
$\left\|b_2\right\|=\frac{1}{\sqrt{12}}$
$b_3=x_3-\frac{(x_3,b_1)}{\left\|b_1\right\|^2} \cdot b_1-\frac{(x_3,b_2)}{\left\|b_2\right\|^2} \cdot b_2=t^2-\frac{\frac{1}{3}}{1} \cdot b_1-\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}} \cdot b_2=t^2-t+\frac{1}{6}$

Pavel Brožek

↑ chipák:

Myslím, že používáš špatně vzoreček z Gramm-Schmidta. Musíš odečítat lineární kombinaci vektorů, ty ale odečítáš jen samotné koeficienty z té lineární kombinace, která by tam měla být.

LukasM · 28. 05. 2012 12:28

↑ chipák:
Je to přesně jak píše ↑ Pavel Brožek:, a navíc ještě počítáš špatně normu vektoru. Jak spočítám $\left\|b_2\right\|$ ?

chipák · 28. 05. 2012 12:36

Takže pokud to spávně chápu, tak ta norma by se měla spočítat
$\left\|b_2\right\|=\sqrt{(b_2,b_2)}=\sqrt{\int_0^1 \! (t-\frac{1}{2})^2 \, \mathrm{d} t}$

LukasM · 28. 05. 2012 12:41

↑ chipák:
Ano, norma je odmocnina ze skalárního součinu vektoru se sebou samým.

Hlavně si ale oprav to co napsal Pavel výše.

chipák · 28. 05. 2012 13:03

↑ LukasM:

editoval jsem první příspěvek a teď už by tedy měl být dobře ...

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2012 11:55 — Editoval chipák (28. 05. 2012 13:01)

Ortogonalizace funkcí

#2 28. 05. 2012 12:21 — Editoval Pavel Brožek (28. 05. 2012 12:22)

Re: Ortogonalizace funkcí

#3 28. 05. 2012 12:28

Re: Ortogonalizace funkcí

#4 28. 05. 2012 12:36

Re: Ortogonalizace funkcí

#5 28. 05. 2012 12:41

Re: Ortogonalizace funkcí

#6 28. 05. 2012 13:03

Re: Ortogonalizace funkcí

Zápatí