Matematické Fórum

Prokop · 28. 05. 2012 16:57

Mám určit definiční obor této funkce
výsledek by měl být
Prosím o radu jak k tomu dojít. Vím, že se jmenovatel výrazu nesmí rovnat nule. Po převedení mi vyjde sin x se nesmí rovnat 1..? A sin se rovná 1 v periodě pí. To ale nesedí s výsledkem..díky za radu

janca361 · 28. 05. 2012 17:04

↑ Prokop:
Ahoj, musí platit: $1-\sin^2 x \neq 0$
Určitě znáš vztah: $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ Upravou dostaneš: $1-\sin^2 x=\cos^2 x$ Takže musí platit: $\cos^2 x \neq 0$ => $\cos x=0$ a to nastává (např. z jednotkové kružnice) pro $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ Tato čísla nelze dosadit za x, protože by nastalo dělení nulou. Definiční obor je tedy $\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\}$

Prokop · 28. 05. 2012 17:13

Děkuji moc!↑ janca361:

zdenek1 · 28. 05. 2012 17:13

↑ Prokop:

Po převedení mi vyjde sin x se nesmí rovnat 1

a to je špatně. Má vyjít $\sin x\ne\pm1$

Prokop · 28. 05. 2012 17:22

↑ zdenek1: to je pravda, a kdybych postupoval tímhle způsoben dál, tak zjišťuju hodnoty sinus pro které platí +1 a -1. pro +1 je to těch pi/2 a pro -1 je to 3/2 pi. Ale ty 3/2 pi ve výsledku nejsou, proč? asi to je hodně hloupá otázka, ale..

janca361 · 28. 05. 2012 17:40

↑ Prokop:
Protože já jsem to napsala jako $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ . (vidíš, že perioda není $2k \pi$ , ale poloviční)
pro $\sin x=1$ => $x=\frac{\pi}{2}+2k \pi$
pro $\sin x=-1$ => $x=\frac{3\pi}{2}+2k \pi$
Pokud to zjišťuješ na jednotkové kružnici, pak zjistíš, že jsou naproti sobě a tím pádem možno zapsat jako $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ .

Řešení je tedy:
$\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\}$
$\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+2k \pi, \frac{3\pi}{2}+2k \pi , k \in Z\}$
Oba dva zápisy jsou dobře.